第六章 6.4.1平面几何中的向量方法-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.4 平面向量的应用 课时11 平面几何中的向量方法 学习目标 课程目标 学科核心素养 能运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题 在运用向量的模长公式求解平面图形中的线段长度问题的过程中,培养直观想象与数学运算等素养 在运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题的过程中,培养数学抽象与数学运算等素养 能运用向量的夹角公式求解平面图形中的角度计算问题 能运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题 在运用向量共线与垂直的充要条件求解平面图形中有关平行与垂直的问题的过程中,培养数学运算与逻辑推理等素养 情境导学 某景点为了开发旅游项目，需要在一条东西走向的河道上设置一处摆渡船．如图1，摆渡船码头位于河道两边的点P，Q处，且Q在P的正北方，P与Q之间的距离为2.5 km.为了保证摆渡船能够顺利到达对岸，每天都需根据水的速度来确定船的速度．某一日测得当天水的速度为自西向东3 km/h，而摆渡船的单程时间为15 min，求小船的速度和∠QPG的正切值．(设船航行的方向为的方向，∠QPG＝θ，速度为v) 你能将此情境中的现实问题转化为数学问题吗？ 初探新知 【活动1】 体会向量法在几何证明中的应用 问题1 情境导学中的量(速度、距离)什么特点？ 问题2 情境中的数学语言如何转化为几何语言？ 问题3 对于这样的几何语言，我们如何用向量工具来表示它们？ 初探新知 问题4 你能处理情境中的问题吗？ 问题5 在平面几何中，如何判定两直线平行或垂直？平面向量中，如何判定两直线平行或垂直？ 问题6 两种方法的区别是什么？ 初探新知 【活动2】 探究向量证明和几何证明的方法 问题8 如何用向量语言来描述∠ACB为直角呢？ 问题7 如何证明圆的直径所对的圆周角是直角呢？如图，已知AB是圆O的直径，求证：∠ACB＝ 初探新知 问题9 若利用两个垂直向量的数量积为0直接计算，则需要我们去找一组非零不共线向量作为基底；若用两个向量坐标计算数量积为0，则需要建立直角坐标系．请同学们动手尝试一下． 典例精析 【思路点拨】取{,}为基底,用,表示,,根据这两个向量共线来计算,即可证明. 【例1】 [教材改编题]如图，过平面上一点P作两条射线分别交一组平行线于点与.用向量方法证明：＝ . 典例精析 【证明】 设＝λ，＝μ，从而＝－＝μ－λ． 又因为＝－，，为非零共线向量， ＝m(m≠0)，即 -＝mμ－mλ，1－mμ＝1－mλ＝0， 得μ＝λ＝，于是＝ 典例精析 【方法规律】 用向量法解决平面几何问题的一般步骤： ① 用向量表示几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ② 根据需要解决的问题进行向量运算，如向量的加、减，模，夹角，数乘，数量积等； ③ 用向量运算结果来确定平面几何中的相关关系，将运算结果转化为几何语言． 典例精析 【变式训练1】如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边CD,CB的中点,连接AE,AF分别交BD于点G,H,求证:DG=GH=HB. 典例精析 【证明】 令=a,=b,=+=+λ=+λ(+)=(1-λ)a-λb.设m=,所以m[(1-λ)a-λb]=a-b,解方程组得m=3,所以=.同理,==,即DG=GH=HB. 典例精析 【思路点拨】已知等式是关于线段长度平方和的等式,OA与BC、OB与CA、OC与AB 都不是同一个直角三角形中的线段,用纯平面几何知识证明相当困难.但若注意到线段长度平方和即向量模的平方,要证O是△ABC的垂心,只需证得⊥,⊥,联想向量的数量积,只需证·=·=0. 【例2】如图,已知O为△ABC所在平面内一点,满足||2+||2=||2+||2=||2+||2.试证明O是△ABC的垂心. 典例精析 【证明】 设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,由||2+||2=||2+||2,得a2+(c-b)2=b2+(a-c)2,从而有c·b=a·c,即(b-a)·c=0.而b-a=,·=0,故 ⊥.同理⊥,⊥.故O是△ABC的垂心. 【方法规律】 几何图形中两条直线的垂直问题,运用两个向量垂直的充要条件,可转化两个向量的数量积为0来处理.通常的思路有两条:(1) 基底法:选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来;(2) 坐标法:建立适当的平面直角坐标系,把几何图形中的相关向量用坐标表示出来. 典例精析 【证明】 设=a,=b,则=b-a,=(a+b).因为OA=OB,所以|a|=|b|,所以b2=a2.所以·=(a+b)·(b-a)=(b2-a2)=0,⊥,即OM⊥AB. 【变式训练2】如图,M是△OAB中AB边上的中点,且OA=OB,试运用向量证明OM⊥AB. 典例精析 【思路点拨】题目中具有直角的条件,分别以OA,