第六章 6.3.5平面向量数量积的坐标表示-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 课时10 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解平面向量数量积的坐标表示的方法,熟练地掌握平面向量数量积的坐标表示 通过探究平面向量数量积的坐标表示,培养数学抽象和数学运算等素养 能运用平面向量数量积的坐标表示解决几何图形中的长度和角度的计算问题 通过运用平面向量中的坐标表示求解长度和角度问题,培养直观想象和数学运算等素养 学会运用坐标表示的平面向量垂直的充要条件来求解平面图形中的垂直问题 通过运用坐标表示平面向量垂直的充要条件,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 如图1，要在矩形ABCD的花园中，铺设两条互相垂直的观赏线路AC和BE.已知点E在边AD上，AB＝300 m，BC＝400 m，怎样确定点E的位置？ 图1 初探新知 【活动1】 探究平面向量数量积的坐标表示 问题1 平面向量的数量积是怎样定义的?学习了平面向量的坐标表示后,平面向量的数量积能否用坐标来表示? 问题2 已知两个非零向量a＝(，)，b＝(，)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？ 初探新知 【活动2】 探究向量模与夹角的坐标表示 问题3 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的充要条件？ 问题4 若a＝(x，y)，你能否根据所学知识求出向量a的长度？ 问题5 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2), 你能求出向量a的模吗？ 初探新知 问题6 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能表示出a，b的夹角公式吗？ 问题7 你能解决开始的问题吗？ 典例精析 【思路点拨】利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案． 【例1】 [2021·安徽省蚌埠市第三中学高一月考]已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1) 求a的坐标； (2) 若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c. 典例精析 【解】 (1) 设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10， 所以λ＝2，所以a＝(2，4).　 (2) 因为b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， 所以a·(b·c)＝a·0＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10). 典例精析 【方法规律】 数量积运算的途径及注意点： (1) 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2) 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解． (3) 依据运算顺序和数量积的坐标公式求值． 典例精析 【变式训练1】向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于(　　) A. －1　　B. 0　　C. 1　　D. 2 【解】 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)， 所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C. C 典例精析 【例2】 (1) [2021·广东省茂名市华英学校高一月考]设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　) A. 4　　B. 5　　C. 3　　D. 4 (2) 若向量a的起点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求： ① 向量a的模； ② 与a平行的单位向量的坐标； ③ 与a垂直的单位向量的坐标 D 典例精析 【思路点拨】 (1) 利用向量共线定理即可得出y,从而计算出2a-b的坐标,利用向量模的计算公式即可得出它的模.　 (2) (ⅰ) 由题意可知a==(4,-3),然后利用模的计算公式即可求解.(ⅱ) 利用与向量 a 平行的单位向量为±即可求解.(ⅲ) 由题意,利用两个向量垂直的性质、单位向量的定义,用待定系数法求出与 a 垂直的单位向量的坐标. 典例精析 【解】 (1) 由a∥b得y＋4＝0，所以y＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a－b＝2(1，2)－(－2，－4)＝(4，8)，所以|2a－b|＝.故选D.　 (2) (ⅰ) 因为a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a|＝. (ⅰi) 与a平行的单位向量是±(4，－3)，即坐标为或. (ⅰii) 设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，.因为|e|＝1，所以m2＋n2＝1，解得或所以或 典例精析 【方法规律】 求向量的模的两种基本策略: (1) 字母表示下的运算：利用＝，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2) 坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝＝，于是有|a|＝ 典例