第六章 6.3.2平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 课时8 平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解平面向量正交分解的概念,理解平面向量的坐标表示的意义 通过对平面向量的正交分解以及坐标表示的学习,培养数学抽象和直观想象等素养 理解平面向量的坐标表示与点的坐标表示之间的联系与区别,掌握平面向量坐标表示的方法 在探究向量坐标表示与点的坐标表示之间关系的过程中,培养直观想象和数学运算等素养 掌握两个平面向量加、减运算的坐标表示的方法,并能进行坐标表示的向量的加、减运算 在求解坐标表示的平面向量的加、减运算的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.易知F1和F2互相垂直，G可以分解为F1和F2. 对力进行正交分解，即把力在两个互相垂直的方向上进行分解，这是解决力学问题的一种十分重要的手段． 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a可以用e1，e2表示．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们的研究带来方便呢？ 初探新知 【活动1】 认识平面向量的正交分解与坐标表示 问题1 你能由物理学中的力的正交分解得出平面向量的正交分解的概念吗? 问题2 你能利用向量的正交分解给出平面直角坐标系中一个向量坐标的定义吗? 问题3 正交分解与平面向量基本定理有何联系? 问题4 你能得出向量i,向量j和0向量的坐标吗? 问题5 在平面直角坐标系中,一个向量与其坐标是不是一一对应的? 初探新知 【活动2】 探究平面向量加、减运算的坐标表示 问题7 如图3,在平面直角坐标系中,怎样表示+的坐标? 图3 问题8 在图3的平面直角坐标系中,怎样表示的坐标? 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b和a-b的坐标表示吗? 问题6 初探新知 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b的充要条件是什么? 问题11 与的坐标表示相同吗?若A(x1,y1),B(x2,y2),则“=(x1-x2,y1-y2)”对吗? 问题9 由问题9你能得到什么结论? 问题10 典例精析 【思路点拨】 (1) 根据题意，设A(x，y)，由| |和∠xOA的值，求出x，y的值，即可得A的坐标，由向量坐标的定义可得答案．　 (2) 根据题意，由向量坐标的定义计算可得答案． 【例1】已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4 ，∠xOA＝60°. (1) 求向量 的坐标； (2) 若B( ，－1)，求 的坐标． 典例精析 【解】 (1) 设点A(x，y)，则x＝| |cos60°＝4 cos60°＝2 ，y＝| |sin60°＝4 sin60°＝6，即A(2 ，6)，所以 ＝(2 ，6).　 (2) ＝(2 ，6)－( ，－1)＝( ，7). 【方法规律】 求平面向量的坐标的方法: 求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标. 典例精析 【解】由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，因为AB＝4，AD＝3，所以 ＝4i＋3j，所以 ＝(4，3).因为 ＝ ＋ ＝－ ＋ ，所以 ＝－4i＋3j，所以 ＝(－4，3). 【变式训练1】已知长方形ABCD的长为4，宽为3，如图，建立平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求 和 的坐标． 典例精析 【思路点拨】根据题意，建立平面直角坐标系求出 ， ， 的坐标表示，并进行运算． 【例2】已知边长为单位长度的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量 － ＋ 的坐标为________． (2，0) 典例精析 【解】 【方法规律】 求解用坐标表示的平面向量的加、减运算问题的思路:在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算法则进行计算. 如图，根据题意建立平面直角坐标系，则各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以 ＝(1，0)， ＝(0，1)， ＝(1，1)，所以 － ＋ ＝(1，0)－(0，1)＋(1，1)＝(2，0). 典例精析 【变式训练2】 [教材改编题]已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(－3，1)，(－2，3)，(2，4)，求顶点D的坐标． 【解】