第六章 6.3.1平面向量基本定理-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 课时7 平面向量基本定理 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解平面向量基本定理及其意义,平面里任一向量都可以用两个不共线的向量线性表示 在探究与理解平面向量基本定理的过程中,培养直观想象与数学抽象等素养 理解平面向量的基底的意义和作用,学会选择适当的基底来表示平面里的任一向量 在运用平面向量的基底表示平面内任意向量的过程中,培养数学抽象和数学运算等素养 能够灵活地运用平面向量基本定理解决平面图形中的长度与角度计算等问题 在运用平面向量基本定理解决长度、角度计算问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养 情境导学 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：如图1，将一线段AB分为线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足 ＝＝ ，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图2，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设＝x1 ＋y1 ， ＝x2 ＋y2 ，如何求x1，y1，x2，y2的值呢？ 图1 图2 初探新知 【活动1】 利用平面内不共线的两个向量表示平面内任一向量 问题1 我们已经学习了向量的线性运算及其几何意义，如果将一个平面内的向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这个平面内两个同起点的不共线向量来表示呢？ 问题2 给定平面内任意两个不共线的非零向量e1，e2，请你作出向量3e1＋2e2，e1－2e2. 问题3 平面内的任一向量a是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？ 初探新知 【活动2】 理解平面向量基本定理 你能归纳活动1探究的结论吗？ 问题4 我们把上述结论称为平面向量基本定理,你能说说平面向量基本定理的意义吗? 问题5 问题6 {e1，e2}可作为平面向量的一个基底的条件是什么？ 问题7 当基底{e1，e2}给定时，分解形式唯一吗？ 初探新知 问题10 现在你能解决情境导学中提出的问题吗? 若向量a与b不共线，λ，μ∈R，你能得出向量λa＋μb＝0的充要条件吗？ 问题9 平面向量基本定理的作用是什么？ 问题8 典例精析 【思路点拨】根据基底的定义，要判断两向量能否作为基底，只需判断其是否共线． 【例1】[2022·黑龙江省哈尔滨市高二开学考试]设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列向量中不能作为基底的是(　　) A. e1与e1＋e2　　 B. e1－2e2与e2－2e1 C. e1－2e2与4e2－2e1　　D. e1＋e2与e1－e2 C 典例精析 【解】 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则 无解，所以e1＋e2与e1不共线，能作为基底，A不符合题意；选项B中，设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则 无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，能作为基底，B不符合题意；选项C中，因为e1－2e2＝－ (4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底，C符合题意；选项D中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，能作为基底，D不符合题意．故选C. 典例精析 【方法规律】 两个向量能否作为基底，关键是看这两个向量是否共线．一个平面的基底一旦确定，那 么平面上任一向量都可以用这个基底唯一、线性地表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 典例精析 【变式训练1】(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　) A. 与 　　B. 与 　　 C. 与 　　D. 与 AC 【解】选项A， 与不共线，可作为基底；选项B， ＝－ ，则 与共线，不可作为基底；选项C， 与 不共线，可作为基底；选项D， 与－ ，则 与共线，不可作为基底．故选AC. 典例精析 【思路点拨】利用平面向量的加法法则和数乘运算及平面向量基本定理求解． B 【例2】[2022·安徽省宣城市高二期末]我国著名数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图．在“赵爽弦图”中，若 ＝a， ＝b， ＝3 ，则 可表示为(　　)