第六章 6.2.3向量的数乘运算-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

6.2 平面向量的运算 课时4 向量的数乘运算 学习目标 课程目标 学科核心素养 通过类比向量的加法运算,认识和理解向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律 在认识和理解向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律的过程中,培养数学抽象和数学运算素养 在运用向量数乘的定义、几何意义和运算律求解向量问题的过程中,培养直观想象和数学运算等素养 能熟练地运用向量的数乘运算的定义、几何意义和运算律进行向量的线性运算 理解并掌握向量共线定理,能熟练地运用向量共线定理求解有关向量共线与点共线的问题 在运用向量共线定理求解向量共线和点共线的问题的过程中,培养逻辑推理和数学运算等素养 情境导学 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1 s的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3 s的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3s的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 初探新知 【活动1】 探究向量数乘运算 问题1 已知非零向量a ，你能作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)吗？ 问题2 通过上述作图，你能发现什么？ 问题3 将上述情况推广到一般，能得到什么结论？ 问题4 λa是一个向量，它的长度是什么呢？λa与a的长度与方向有何关系？ 初探新知 问题5 类比实数乘法的运算律，写出向量数乘运算可能满足的运算律．通过几何作图的方式逐一验证该运算律． 问题6 你能由向量数乘的运算律化简(λ－μ)a和λ(a－b)吗？ 问题7 向量的加、减、数乘运算的结果是什么？ 初探新知 【活动2】 探究向量共线定理 问题8 由向量的几何意义及向量数乘的定义，你能发现λa与a之间的位置关系吗？ 问题9 怎样定义两向量共线？与两直线平行有什么异同？ 问题10 我们将上述向量共线的充要条件称为向量共线定理.你能证明这个定理吗? 问题11 若向量a与b共线，那么向量a与b有哪些可能的情况？ 典例精析 【思路点拨】运用向量数乘运算律求解即可． 【例1】化简下列各式： (1) 3(6a＋b)－9(a＋b) ； (2) [(3a＋2b)－(a＋b) ]－2(a＋b) ； (3) 2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 典例精析 【解】 (1) 原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2) 原式＝（2a＋b）－a－b＝a＋ b－a－ b＝0. (3) 原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【方法规律】 向量数乘运算的方法： (1) 向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作向量的系数． (2) 向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． 典例精析 【变式训练1】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 【解】 由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0， 所以x＝4b－3a. 4b－3a 典例精析 【思路点拨】应用向量运算的三角形与平行四边形法则结合向量线性运算的运算律求解． 【例2】(1) 在△ABC中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，则等于(　　) A. －　　B. － C. + 　 D. + (2) 在四边形ABCD中，＝，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　) A. ＝＋　　 B. ＝ ＋ 　　 C. ＝＋ D. ＝ ＋ B A 典例精析 【解】 (1) 由题意可得＝＋＝－ × (＋)＋ ＝－. 故选A.　 (2)如图，在四边形ABCD中，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得 ＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝ ＝ ， 所以 ＋＝＋＋ ＝ ＋＝ (－)＋ ＝ － ＋＝ － ( ＋ ) ＋ ＝ － ＋＝ ＋ .故选B. 典例精析 【方法规律】 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略： (1) 向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则． (2) 求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． 典例精析 【变式训练2】 [2022·福建省福州市高一期中改编题]如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，. 典例精析 【解】 设＝， ＝，则由的中点，可得＝由＋＝，且＋＝，可得且 解得故＝， ＝ . 典例精析 【思路点拨】(1) 根据向量线性运算的几何意义，结合