(下册)第2章专题特训二与切线相关的常见辅助线作法-【拔尖特训】2023-2024学年九年级全一册数学 浙教版

　　　　专题特训二　与切线相关的常见辅助线作法 ▶ “答案与解析”见P81 类型一 知切线,连半径,得垂直 方法归纳:已知圆的切线时,常把切点与圆心连结起 来,得半径与切线垂直,构造直角三角形,再利用直 角三角形的有关性质解题. 1. (2022·龙港一模改编)如图,AB 是半圆O 的直径,半径OC⊥AB,D 是OC 的延长线上 一点,DE 切半圆O 于点E,连结AE,交OC 于点F.若CD=2,tan∠AFO=3,则EF 的 长为 . (第1题) 类型二 证相切,连半径或作垂直 方法归纳:要证明一条直线是圆的切线,当直线与圆 有公共点时,只需“连半径、证垂直”即可;当已知条 件中没有指出直线与圆有公共点时,常过圆心作已 知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径. 2. (2022·杭州富阳二模改编)如图,以正方形 ABCD 的边AB 为直径作☉O,E 是☉O 上 一点,EF⊥AB 于点F,AF>BF,作直线 DE 交BC 于点G,CD=10,EF=4.求证: DG 是☉O 的切线. (第2题) 3. 如图,△ABC 为等腰三角形,AB=AC,O 是 底边BC 的中点,☉O 与腰AB 相切于点D. (1) 求证:AC 与☉O 相切. (2) 若AB=5,BC=6,求☉O 的半径. (第3题) 类型三 遇内切圆,连内心和顶点 方法归纳:解决内切圆相关的问题时,一般连结内心 和三角形的顶点,利用内心与顶点的连线平分这个 内角、三角形的外角性质以及同弧所对的圆周角相 等进行角的转换. 4. 如 图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=3,BC=4,CD 是斜边AB 上的高线,点I1,I2分别是△ACD, △BCD 的内心,直线I1I2 分别交AC,BC 于点E,F.求tan∠I1I2D 的值. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 421 数学(浙教版)九年级全一册 {#{QQABJQQAggiIABAAAAhCQw3gCkCQkBACAIoGQFAMoAAAAANABAA=}#} ∵ -1<0, ∴ 当x=5时,S取得最大值,最大值 为25,此时a-b=10-2x=0,即 OA=OB. ∴ 易得OA=52. ∴ S 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 S=-x2+10x,当S取最大值时直角 边OA 的长为52. (第11题) 直角三角形的内切圆半径公式 在Rt△ABC 中,若∠C=90°, ∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b, c,Rt△ABC 的内切圆半径为r,则 根据正方形的判定和性质、切线长 定理,可得Rt△ABC 的内切圆半 径r=12 (a+b-c). 专题特训二　与切线相关的 常见辅助线作法 1. 4 10 5 [解析]如图,连结OE,过 点E 作EH⊥OD 于点 H.∵ OC⊥ AB,∴ ∠AOF=90°.∴ tan∠AFO= OA OF=3.∴ 设OA=3k,则OF=k. ∴ OE=OC=OA=3k.∴ DF=2+ 2k,OD=2+3k.∵ DE 切半圆O 于 点E,∴ ∠DEO=90°.∴ ∠DEF= 90° - ∠AEO.∵ OC ⊥ AB, ∴ ∠AOC=90°.∴ ∠AFO=90°- ∠A.∵ OE=OA,∴ ∠A=∠AEO. ∴ ∠DFE = ∠AFO = ∠DEF. ∴ DE=DF=2+2k.∵ ∠DEO= 90°,∴ OE2+DE2=OD2.∴ (3k)2+ (2+2k)2=(2+3k)2,解得k1=1, k2=0(不合题意,舍去).∴ OF=1, DE=2+2×1=4,OE=3×1=3, OD=2+3×1=5.∵ S△DEO= 1 2DE ·OE=12EH ·OD,∴ EH= DE·OE OD = 4×3 5 = 12 5. 在Rt△OHE 中,∵ ∠OHE =90°,∴ OH = OE2-EH2= 32- 125 2 =95. ∴ HF=OH-OF=95-1= 4 5. 在 Rt△EHF 中,∵ ∠EHF= 90°, ∴ EF= EH2+HF2=4 105 . (第1题) 2. 如图,连结 OE,OD,过点 E 作 EH⊥AD 于点H. 由