6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算(强基课)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

课时目标 6.1.4　数乘向量 6.1.5　向量的线性运算 (强基课—梯度进阶式教学) 1.理解数乘向量的定义及几何意义，了解数乘向量的运算律. 2.理解向量线性运算的定义及运算法则. 3.能利用向量的线性运算解决简单的问题. 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)数乘向量 1.数乘向量的定义 定义 一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量 模 当λ≠0且a≠0时，λa的模为__________ 方向 当λ>0且a≠0时，与a的方向________； 当λ<0且a≠0时，与a的方向________； 当λ＝0或a＝0时，λa＝0 |λ||a| 相同 相反 2.数乘向量的几何意义 把向量沿着它的方向或_______放大或_______. 3.λ(μ a)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μ a是向量，λ(μ a)也是向量；λμ是实数，但(λμ)a是向量.可以看出λ(μ a)＝_______. 反方向 缩小 (λμ)a 微点助解 (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算. (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. (3)在λa中，λ的符号与λa的方向有关，λ的大小与λa的模有关.当λ>0时，沿着向量a的方向放大(λ>1)或缩小(0<λ<1)到原来的λ倍；当λ<0时，沿着向量a的反方向放大(|λ|>1)或缩小(0<|λ|<1)到原来的|λ|倍. 4.向量平行、三点共线问题 (1)向量平行：如果存在实数λ，使得______，则b∥a. b＝λa 共线 [基点训练] 1.若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　 ) A.b＝2a　　　　　　　 B.b＝－2a C.a＝2b D.a＝－2b 答案：A 2.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列关系式正确的是(　 ) 答案： D　 (二)向量的线性运算 1.向量的加法与数乘向量的混合运算 (1)规律：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算______向量，再算向量______. (2)运算律 ①一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝_______. ②一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝_______. 数乘 加法 (λ＋μ)a λa＋λb 2.向量的线性运算 概念 向量的_______、_____、_________以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算 规则 向量的线性运算，总规定要先计算________，再按_________的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项 加法 减法 数乘向量 数乘向量 从左往右 微点助解 (1)由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量.因此，a－2b＋6a＝a＋(－2b)＋6a＝a＋6a＋(－2b)＝7a＋(－2b)＝7a－2b. (2)当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号.如－(a－2b)＝－a＋2b. [基点训练] 1.化简：4(a－3b)－6(－2b－a)＝________. 解析：4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a. 答案：10a 答案：2 题型(一)　数乘向量的概念 [典例1]　(多选)已知a，b是两个非零向量，则下列说法正确的是(　 ) [答案]　ABC [解析]　∵－2<0，∴－2a与a方向相反，两向量共线.又|－2a|＝2|a|，∴A正确. ∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|. ∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|. ∴B正确.按照相反向量的定义可以判断C正确. ∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等的向量.∴D不正确. [方法技巧] 对于数乘运算的理解，关键是对系数λ的认识 (1)当λ＞0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； (2)当λ＜0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍； (3)当λ＝0时，λa＝0.　　 [针对训练] 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　 ) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|－λa|≥|a| D.|－λa|＞|λ||a| 答案：B 解析：只有当λ＜0时，a与λa的方向相反，A不正确.因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，B正确.因为|－λa|＝|λ||a|，所以只有当|λ|≥1时，才有|－λa|≥|a|，C、D不正确. 答案：D　 题型(二)　向量的线性运算 [典例2]