4.4 幂函数(强基课)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

课时目标 4.4　幂函数(强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1.幂函数的概念 一般地，函数_________称为幂函数，其中α为常数. y＝xα 微点助解 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数. (2)五个幂函数的性质   y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 _______ _______ _______ ___________ _______ 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上是_______ 在[0，＋∞)上是______，在(－∞，0]上是______ 在R上是______　 在[0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是________，在(－∞，0)上是________ 公共点 (1,1) 续表 增函数 增函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数　 (3)幂函数y＝xα随着α的不同，定义域，值域，奇偶性，单调性也不尽相同，要根据α的值判断. 微点助解 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都经过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；并且在区间[0，＋∞)上单调递增. (3)当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.并且在区间(0，＋∞)上单调递减. (4)在x＝1右侧，幂函数y＝xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”. [基点训练] 1.下列所给的函数是幂函数的为(　 ) A.y＝2x5 B.y＝x3＋1 C.y＝x－3 D.y＝3x 答案：C　 解析：选项C符合y＝xα的形式，对于A，系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式. A.1,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3 答案：A　 解析：可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数.又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1,3. 3.3.17－1与3.71－1的大小关系为________. 解析：∵幂函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减， ∴3.17－1>3.71－1. 答案：3.17－1>3.71－1 题型(一)　幂函数的概念及应用 [典例1]　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　 ) (2)已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m的图象不过原点，则实数m的值为(　 ) A.1 B.2 C.－2 D.1或2 [答案]　(1)BD　(2)A [解析]　(1)由幂函数的定义知，函数y＝x0，y＝x－1为幂函数. (2)∵函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m是幂函数， ∴m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2. 当m＝1时，y＝x0，图象不过原点，符合题意； 当m＝2时，y＝x2，图象过原点，不符合题意. [方法技巧] 判断一个函数是否为幂函数的依据 观察该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.　 [针对训练] 2.若函数f(x)＝(m2－m－5)xm＋1是幂函数，且为偶函数，则实数m的值是________. 解析：由函数f(x)＝(m2－m－5)xm＋1是幂函数， 得m2－m－5＝1，即m2－m－6＝0，解得m＝－2或m＝3；又因为f(x)为偶函数，即m＋1为偶数，所以实数m的值是3. 答案：3 题型(二)　幂函数的图象及应用 [典例2]　(1)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　 ) [答案]　(1)A　(2)B [解析]　(1)函数y＝x3为奇函数且定义域为R，该函数图象应与①对应； 函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应； 又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数. [方法技巧] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为： ①在(0,1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). [针对训练] 答案：C 答案：(0,1) 题型(三)　利用幂函数的单