4.2.2 对数运算法则(强基课)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

课时目标 4.2.2　对数运算法则(强基课—梯度进阶式教学) 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)积、商、幂的对数 1.对数的运算性质 若a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝_______________； (2)logaMα＝__________； logaM＋logaN αlogaM logaM－logaN 微点助解 对数的运算性质 ①对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”. ②对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. ③注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义. log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a＞0，且a≠1. [基点训练] 1.计算log84＋log82等于(　 ) A.log86 B.8 C.6 D.1 答案：D　 解析： log84＋log82＝log88＝1. 2.计算log510－log52等于(　 ) A.log58 B.lg 5 C.1 D.2 答案：C 答案：B　 (二)换底公式 1.对数换底公式 logab＝__________ (a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1). 2.推论 (1)logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1). 微点助解 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. [基点训练] 1.计算log92×log43＝(　 ) 答案：D　 2.若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________. 题型(一)　利用对数运算法则化简或求值 [典例1]　计算下列各式的值： (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. [方法技巧] 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.　　 (2)两种常用的方法：,①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；,②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). [针对训练] 1.化简：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 解：(1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 题型(二)　换底公式的应用 [典例2]　已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456. [解]　因为2b＝3，所以b＝log23， [变式拓展] 1.本例条件不变，试用a，b表示log2898. 2.若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？ 解：因为3b＝2，所以b＝log32.又a＝log37， [方法技巧] 利用换底公式计算、化简的常用方法 (1)先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底. (2)一次性地换为常用对数，再化简、通分、求值. [针对训练] 2.已知log1227＝a，用a表示出log616. 3.计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值. 法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323) 题型(三)　对数运算的综合应用 [典例3]　(1)设lg 3＝a，lg 5＝b，则log212的值为(　 ) (2)已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z，则使2x＝py成立的p值为________. [解析]　(1)根据换底公式和对数运算性质，得 (2)设3x＝4y＝6z＝k， 因为x，y，z为正数，所以k＞1， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. [方法技巧] 带有附加条件的对数式或指数式的求值问题