4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用(深化课)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

1.进一步熟练掌握指数函数的性质与图象，会求指数型函数的定义域和值域. 2.能利用指数函数的性质与图象解不等式. 3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断. 课时目标 第 2 课时　指数函数性质与图象的应用 (深化课—题型研究式教学) 题型(一)　指数型函数的定义域、值域问题 [典例1]　求下列函数的定义域和值域： [解]　(1)由已知得x应满足x－1≠0，∴x≠1. ∴定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞). [方法技巧] 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法： 函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. (2)值域的求法： ①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.　　 [针对训练] 即32x－1≥3－2. ∵y＝3x在R上是增函数，∴2x－1≥－2. 题型(二)　指数型函数的单调性 [方法技巧] (1)对于求形如f(x)＝ma2x＋max＋q(m≠0，a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝ax，然后结合二次函数与指数函数的单调性，进行判断. (2)对于求形如f(x)＝aφ(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝φ(x)，然后结合函数t＝φ(x)与指数函数y＝at(a＞0，且a≠1)的单调性，进行判断.　　 [针对训练] 2.已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________. 3.求下列函数的单调区间. (1)y＝ax2＋2x－3(a>0且a≠1)； 解：(1)易知y＝a x2＋2x－3 (a>0且a≠1)的定义域为R，设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数. 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， 所以当a>1时，原函数的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的单调递增区间为(－∞，－1]，单调递减区间为(－1，＋∞). 题型(三)　解指数不等式 (2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. ∴3x－1≥－1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)①当0<a<1时，函数f(x)＝ax在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6.∴x2－4x－5>0. 解得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6.∴x2－4x－5<0. 解得－1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<－1或x>5}； 当a>1时，x的取值范围是{x|－1<x<5}. [方法技巧] 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x). [针对训练] 答案：B　 5.不等式5×2x－4x>4的解集为________. 解析：令t＝2x(t>0)， 则5×2x－4x>4可化为5t－t2>4， 即t2－5t＋4<0，解得1<t<4. 所以1<2x<4，得0<x<2， 所以原不等式的解集为(0,2). 答案：(0,2) 题型(四)　指数函数性质的综合问题 (1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 因为x1<x2，所以0<2x1<2x2，所以2x1－2x2<0. 因为(1＋2x1)(1＋2x2)>0， 所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1).所以该函数在定义域R上是减函数. (2)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k). 因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)<f(k－2t2). 由(1)知，f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立. [方法技巧] 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.　　 [针对训练] (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[1,3]上的值域. 因为0<x1<x2，所以4 x1<4 x2，所以4x1－4x2<0. 又因为x1＋x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(