专题4.4 等比数列的概念【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4 等比数列的概念【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等比数列的基本量的求解】 1 【题型2 等比中项】 2 【题型3 等比数列的通项公式】 2 【题型4 等比数列的单调性】 4 【题型5 等比数列的判定与证明】 4 【题型6 等比数列性质的应用】 5 【知识点1 等比数列的概念与通项公式】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 【题型1 等比数列的基本量的求解】 【例1】（2023春·吉林白城·高二校考期中）等比数列中，若，则公比为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）在等比数列中，，，则首项等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-2】（2023秋·江苏南通·高三校考开学考试）在等比数列中，，则数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1-3】（2023秋·江苏南通·高二校考阶段练习）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则公比为（    ） A． B．2 C． D． 【题型2 等比中项】 【例2】（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ） A．2 B．4 C．2 D．4 【变式2-1】（2023春·高二课时练习）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（    ） A．32 B． C． D． 【变式2-2】（2023春·黑龙江伊春·高二校考期中）已知数列为等比数列，，则（    ） A．9或 B．9 C．27或 D． 【变式2-3】（2023春·福建·高二校联考期末）已知等比数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 等比数列的通项公式】 【例3】（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和组成的数列满足，，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{}的通项公式=可以改写为=，当q>0且q≠1时，等比数列{}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{}的首项为，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{}为递增数列； (2)当或时，等比数列{}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 3．等比数列的性质 设{}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则. (2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为 . (5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【题型4 等比数列的单调性】 【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列是（　　） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·