第8章 板块综合融会 空间点、线、面位置关系(习题课—小结评价式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

板块综合融会　空间点、线、面位置关系 (习题课—小结评价式教学) 1 2 目 录 3 融通点(一)　立体几何中的交线、截面问题 融通点(二)　空间中垂直与平行的综合问题 融通点(三)　几何法求空间角 2 [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 (1)通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养． (2)通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养． 2．渗透的数学思想 (1)在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结合的思想． (2)在本章中化归思想无处不在，如“要证线面平行，先证线线平行” “要证面面平行，先证线面平行” “要证线面垂直，先证线线垂直” “要证面面垂直，先证线面垂直”等，都体现了转化与化归思想． 融通点(一)　立体几何中的交线、截面问题 [解析]　(1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点． 设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形． [方法技巧] 利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． [针对训练] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________． [典例2]　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形， 四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD， G，H分别是CE，CF的中点． (1)求证：AC⊥平面BDEF； (2)求证：平面BDGH∥平面AEF. 融通点(二)　空间中垂直与平行的综合问题 [证明]　(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF. 在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，所以OH∥AF. 因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF. [方法技巧] 平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间”到“平面”、“低维”到“高维”的转化关系． [针对训练] 3.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：B1D1∥平面A1BD； (2)求证：MD⊥AC； (3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 解：(1)证明：由直四棱柱定义得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形．所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD. (2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，所以MD⊥AC. 融通点(三)　几何法求空间角 [典例3]　如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，异面直线PB与CD的夹角为45°. (1)求二面角B-PC-D的大小； (2)求直线PB与平面PCD夹角的大小． [解]　(1)∵ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠PBA就是异面直线PB与CD的夹角，即∠PBA＝45°. ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB.∴PA＝AB.在△PBC和△PDC中，PB＝PD，BC＝CD，PC＝PC， ∴△PBC≌△PDC.∴∠PCB＝∠PCD. 作BE⊥PC于E，连接ED. [方法技巧] 1．求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 2．作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． [针对训练] 4．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， A1C⊥平面A