8.6.1直线与直线垂直(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系. 2.理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法. 课时目标 8.6.1　直线与直线垂直(强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b 结论 直线a′与b′所成的_____叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为α，则___________ 特例 如果两条异面直线所成的角是_____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 角 0°<α≤90° 直角 2.空间两直线所成的角 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为____，所以空间两条直线所成角α的取值范围是_____________. 0° 0°≤α≤90° 微点助解 对异面直线所成的角的认识 (1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关． (2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算． (3)异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面． (4)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直． [基点训练] 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 ) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 答案：B 2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________． 答案：60° 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°. 3．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________． 答案：45° 解析：连接BG，则BG∥AH， 所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角． 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°. 题型(一)　求异面直线所成的角 [答案]　C [方法技巧] 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线. (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求． 答案：C　 题型(二)　证明直线与直线垂直 [方法技巧] 证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明． (2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明． [针对训练] 3．在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 证明：如图，连接A1C1，B1D1， 并设它们相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF. 题型(三)　异面直线所成角的综合问题 [典例3]　如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，求MN的长． [方法技巧] 当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 [典例1]　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. [解析]　依题意，不妨设AB＝1，则AA1＝3AB＝3，因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1.所以∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角．在△A1BC1中，A1C1＝AB＝，A1B＝＝，则BC1＝，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝. [针对训练] 1.在正四棱锥P-ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C.