6.4第2课时余弦定理(深化课—题型研究式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.4　第 2 课时　余弦定理(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2 .掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 1 2 目 录 3 题型(一)　已知两边和一角解三角形 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 题型(三)　判断三角形的形状 2 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 其他两边平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 2.解三角形的定义 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________． 元素 解三角形 微点助解 (1)余弦定理的特点 ①适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． ②揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． (3)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． ②若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 答案：C　 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 答案：A　 答案：A　 [典例3]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 题型(三)　判断三角形的形状 [方法技巧] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． [针对训练] 5．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状． sin A＝2sin B·cos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°，∴A＝B＝C＝60°. 故△ABC为等边三角形． BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 文字语言 三角形中任何一边的平方，等于________________________ ________________________________ 符号语言 a2＝________________，b2＝________________， c2＝________________ 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°. [针对训练] 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝，B＝60°，则c＝ (　 ) A．1 B. C．3 D．1或3 2．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若cos B＝，c＝5，a＝3，则b＝ (　 ) A. B. C. D