6.3.1平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.1　平面向量基本定理(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，会判断两个向量能不能作为一组基底． 2.了解向量基底的含义．在平面内，当一个基底确定后，会用这个基底来表示其他向量． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 平面向量基本定理的定义 条件 e1，e2是同一平面内的两个___________ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________ 基底 若e1，e2不共线，把________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 λ1e1＋λ2e2 {e1，e2} 微点助解 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底. (　 ) (2)零向量可以作为基向量． (　 ) (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 答案：4e1＋3e2 4．已知向量a，b不共线，若λa＋b＝－a＋μb，则λ＝________，μ＝________. 答案：－1　1 解析：∵λa＋b＝－a＋μb， ∴(λ＋1)a＋(1－μ)b＝0.又∵a，b不共线， ∴λ＋1＝0且1－μ＝0.即λ＝－1，μ＝1. [典例1]　(多选)设e1，e2是两个不共线的向量，则下列四组向量中，能作为平面向量的一组基的是 (　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．e1＋2e2和e2＋2e1 C．3e1－2e2和4e2－6e1 D．e2和e2＋e1 题型(一)　对平面基本定理的理解 [答案]　ABD [解析]　e1＋e2和e1－e2没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；e1＋2e2和e2＋2e1没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基；4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基；e2和e2＋e1不共线，可作为平面向量的一组基．故选A、B、D. [方法技巧] 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示． 答案：B　 2．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若a，b能作为一组基，则实数λ的取值范围为________________． 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析：若a，b能作为一组基，则向量a，b不共线．由题可知，若向量a，b共线，则有λ＝4，故当向量a，b不共线时，λ≠4，即实数λ的取值范围是(－∞，4)∪(4，＋∞)． 题型(二)　用基底表示向量 [方法技巧] 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据： ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型： 答案：B　 答案：A　 [典例3]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [变式拓展] 若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值． [方法技巧] 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底； (2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解． BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 (3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，＝4e1，＝6e2，则2e1－3e2等于 (　 ) A. B. C. D. 答案：B　 解析：如图，＝＝(－)＝2e1－3e2. 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_______． [针对训练] 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是 (　 ) A.， B.， C.， D.， 解析：由题中图形可知与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．故选B. [典例2]　如图所示，已知▱ABCD