6.2.3向量的数乘运算(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.3　向量的数乘运算(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及数乘运算的运算法则. 2.理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义，并会应用向量共线解决一些简单问题． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义，能用已知向量表示未知向量． 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)向量的数乘运算 1．向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 λa的方向与a的方向_____ λ＝0 λa＝_____ λ＜0 λa的方向与a的方向_____ 向量 相同 0 相反 2.向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μ a)＝_______； (2)(λ＋μ)a＝ ________ ； (3)λ(a＋b)＝ ________(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a＝ ______ ＝ ______，λ(a－b)＝_______. (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λa－λb λ(－a) 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________. λμ1a±λμ2b 微点助解 (1)从两个角度理解向量数乘 ①代数角度 实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0⇔λ＝0或a＝0. ②几何角度 |λ|>1 λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍 λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍 0<|λ|<1 0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍 －1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍 (2)关于向量的线性运算 向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量． (　 ) (2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反． (　 ) (3)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍． (　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下列运算正确的个数是 (　 ) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C (二)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_______. b＝λa 微点助解 (1)共线向量定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0， 当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数； 当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在． (2)当向量a，b同向时，λ>0，当向量a，b反向时，λ<0. [基点训练] 1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 (　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b. 答案：8 解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)． ∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8.∴λ＝8. 题型(一)　向量的线性运算 [方法技巧] 向量线性运算的基本方法 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用． [针对训练] 1．若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于 (　 ) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 答案：C　 解析：原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c. 2．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 答案：4b－3a 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a. 题型(二)　用已知向量表示其他向量 [方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法： (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． [提醒]　用已知向量表示其他向量的关键是弄清向量之间的数量关系． 题型(三)　共线向量