【上海高一数学复习备考】专题05 以集合知识为载体的创新型试题（考点归纳+6类题型归纳+通关题组）-【题型归纳复习】2023-2024学年高一数学上学期章节核心考点·拓展提升（沪教版2020必修第一册）

专题05 以集合知识为载体的创新型试题 集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础，是数学表达和交流的工具；而现行的创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题（或提出新问题）并解决提出的新问题；这里，欲以集合知识为载体，例析现行的创新型试题的题型与解法； 一、《必修第一册》目录与内容提要 第1章 集合与逻辑：1.1集合初步 1.1.1 集合；1.1.2 集合的表示方法；1.1.3 集合之间的关系；1.1.4 集合的运算； 1、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有、、、等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足 的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2、集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； 二、考点解读 1、集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； （2）元素与集合的关系是：属于或不属于，用符号∈或∉表示； 2、集合的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作： A⊆B或B⊇A．读作“A包含于B”(或“B包含A”)； （2）相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； （3）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)； （4）空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做：空集，记为：，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 1、集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；在解题时尤其要注意互异性； 2、空集是任何集合的子集，即；是任何非空集合的真子集；在涉及集合关系时，必须优先考虑空集，否则会造成漏解； 3、如果对于任意的，都有，则； 如果且存在，但，则； 如果且，则； 子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A 题型1、注意理解“新定义” 例1、给定数集，对于任意，有且，则称集合为闭集合； ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得． 其中，全部正确结论的序号是______． 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义，考查学习者的及时学习能力，考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于基础题。 题型2、在问题情境给出新概念型问题 例2、已知为给定的非空集合，集合，其中≠，⊆，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分；对于集合，下列命题错误的是（ ） ①．集合是集合的覆盖 ②．集合是集合的划分 ③．集合不是集合的划分 ④．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分 【说明】本题属于新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则（公式、原理），考察学习者的及时学习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题； 题型3、集合与其他知识交汇型问题 例3、已知集合2，，集合A、B是集合U的子集，若，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，则满足“集合A紧跟集合B”的个数为 【说明】本题属于知识交汇型问题：一般需要交汇与整合构造不等式、方程、代数式、函数、图形、概率与统计等加以解决的问题；具体到本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定。 题型4、理解新定义进行推理 例4、若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”； （1）且；（2）若、，则，且当时，有； 给出以下命题：①集合是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④是“好集合”； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是 【说明】解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算。 题型5、集合中猜想推理型问题 例5、定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”；已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 个。 题型6、集合中的分析推理问题 例6、给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （1）判断集合是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由； （3）