【上海高一数学复习备考】专题04 有关集合的“似是而非”问题（考点归纳+5类题型归纳+通关题组）-【题型归纳复习】2023-2024学年高一数学上学期章节核心考点·拓展提升（沪教版2020必修第一册）

专题04 有关集合的“似是而非”问题 集合作为表述数学对象的一种数学语言，是贯穿整个高中数学学习的始终。在解不等式（组）中集合被用于表示解集；在讨论函数定义及函数基本性质、基本初等函数时，集合表示函数的定义域和值域；在解析几何中用来表示具有某种性质的点的集合；而《课程标准》对此的要求是：知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；…会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质。会求几个集合的交集、并集，会求已知集合的补集；在使用集合语言表示有关数学对象的过程中，应注意规范与完整的表述。 一、《必修第一册》目录与内容提要 第1章 集合与逻辑：1.1集合初步 1.1.1 集合；1.1.2 集合的表示方法；1.1.3 集合之间的关系；1.1.4 集合的运算； 1、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有、、、等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足 的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2. 集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合. （2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作. （3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作；也可以写成∁U： 1、集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性；在解题时尤其要注意互异性； 2、空集是任何集合的子集，即；是任何非空集合的真子集；在涉及集合关系时，必须优先考虑空集，否则会造成漏解； 3、如果对于任意的，都有，则； 如果且存在，但，则； 如果且，则； 题型1、关注集合中的元素与特性 例1、已知集合A中含有三个元素：1,0，x，且x2∈A，求实数x的值； 【错解】由x2∈A知，若x2＝1，则x＝±1；若x2＝0，则x＝0；若x2＝x，则x＝0或x＝1.综上，x的值为－1或0或1. 【错因分析】 【正解】 【说明】集合中元素的特性是什么？ 【提示】（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．如：“世界上面积很小的国家”不能构成集合，因为“很小”标准不明确；（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素；（3）无序性：集合中的元素与顺序无关．如：集合{2，3，5，7}与集合{7，5，2，3}表示同一集合； 题型2、注意集合的规范表示 例2、用列举法写出关于x的方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集； 【错解】　由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，方程的解为x＝a或x＝1.∴解集为{a,1}． 【错因分析】 【正解】　 【说明】本题考查了利用解方程化简集合，得注意分类讨论；与用列举法表示集合，得注意集合元素的互异性； 题型3、注意集合间的关系与空集的关联 例3、若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1`＝0}，且BA，求m的值． 【错解】　由A＝，得A＝{－3,2}．由B＝{x|mx＋1＝0}，得B＝. ∵BA，∴－＝－3或－＝2，解得m＝或m＝－.∴m的值为或－； 【错因分析】 【正解】 【说明】1、如何理解子集概念？ 【提示】：“A⊆B”即A是B的子集，集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．不能理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素． 2、怎样判断两个集合相等？ 【提示】：（1）两集合若是有限集，常用列举法写出所有元素，判断元素是否完全相同；（2）若集合是无限集，则依据A⊆B，且B⊆A进行判断． 3、“∈”与“⊆”的区别是什么？ 【提示】：（1）前者表示元素与集合之间的关系；（2）后者表示集合与集合之间的关系； 4、如何理解符号“⊆”与“”？ 【提示】：（1）若A⊆B，则AB或A＝B必居其一；（2）若A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，用符号A⊆B与AB均可，但用AB更准确； 5、空集与其他集合的关系是什么？ 【提示】：（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；（2）空集只有一个子集，即它本身；空集无真子集； 题型4、解答含参数集合间的运算问题时注意“空集” 例4、设集合A＝，B＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，求实数p满足的条件． 【错解】∵A∩B＝∅，B≠∅.∴A＝∅，即关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0无实根． ∴Δ＝22－4×(2－p)<0，解得p<1. 【错因分析】 【正解】 题型5、解答数集合时注意“端点” 例5、已知R为全集，A＝