【上海高一数学复习备考】专题03 集合知识与新信息问题的交汇（考点归纳+6类题型归纳+通关题组）-【题型归纳复习】2023-2024学年高一数学上学期章节核心考点·拓展提升（沪教版2020必修第一册）

专题03 集合知识与新信息问题的交汇 集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础，是数学表达和交流的工具；而现行的新信息问题数学问题，创新迁移类问题大致可以分为两种：一种是定义没有学习过的内容（概念、运算等）；另一种是定义新的形式，内涵还是原来学习过的内容.解第一种新定义问题重在“按部就班”，直接利用新定义计算即可；解第二种新定义问题重在转化与化归；现就集合知识与新信息问题的交汇，举例加以说明； 一、《必修第一册》目录与内容提要 第1章 集合与逻辑：1.1集合初步 1.1.1 集合；1.1.2 集合的表示方法；1.1.3 集合之间的关系；1.1.4 集合的运算； 1、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征；常用数集有、、、等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足 的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2. 集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合. （2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作. （3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作；也可以写成∁U： 二、解答新信息问题的基本策略 1、紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在； 2、把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质； 3、遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可； 1、有关集合的新定义问题； 2、有关集合的新性质问题； 3、有关集合的新法则问题； 4、有关集合的与其他知识的交汇； 5、有关集合的与其他知识的综合；； 题型1、有关集合的新定义问题 例1、（1）若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”；对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”：则a的值为 . 【说明】本题主要考查了新定义“全食”、 “偏食”；同时与一元一次方程的求解、分类讨论与“并集”的定义进行了交汇； （2）已知集合M＝{1，2，3，,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0；设集合A的累积值为n； ①若n＝3，则这样的集合A共有________个； ②若n为偶数，则这样的集合A共有________个． 【说明】解决集合新定义问题的关键：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆； 题型2、有关集合的新性质问题 例2、（1）给定数集M，若对于任意a、b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列所有正确命题的序号是________． ①集合M＝{－2，－1,0,1,2}是闭集合； ②正整数集是闭集合； ③集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}是闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． （2）当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法不正确的是(　　) A．0是任何数域的元素 B．若数域F有非零元素，则2 023∈F C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域 D．有理数集为数域 题型3、有关集合的新法则问题 例3、（1）定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 （2）已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　) A．15 B．16 C．20 D．21 【说明】解决集合新定义问题的关键是：①准确转化，即解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌与已有概念混淆．②方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法，筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解； 题型4、有关集合的与其他知识的交汇 例