选择性必修一《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议

《圆锥曲线的方程》 教材分析与教学建议 选择性必修第一册第三章 《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议 一、章节的内容结构、地位与作用 解析几何是数学发展过程中的标志性成果,是微积分创立的基础.本章将在"直线和圆的方程"的基础上,通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等,使学生了解圆锥曲线的背景与应用;帮助学生在平面直角坐标系中,认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征,建立它们的标准方程;运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系;运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题,感悟平面解析几何中蕴含的数学思想;提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养. 二、课程标准的要求，课程目标分析 （一）课程标准 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 3.了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。 4.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 5.了解椭圆、抛物线的简单应用。 （二）目标解析 椭圆 1.能说出圆锥曲线名称的由来，知道研究圆锥曲线的方法依然是坐标法；能举例说明圆锥曲线的广泛应用。 2.能通过观察利用细绳画椭圆的过程，归纳出图形上的点所满足的几何条件，抽象出椭圆的几何特征，并据此理解椭圆的定义。 3.能根据椭圆定义，通过椭圆的结构特征类比求圆的方程的过程，建立适当的坐标系，选择适当的参数，如2a，2c等，按照坐标法的五步骤，合理化简含有两个根式的等式推导出椭圆标准方程，知道曲线与方程的对应关系。 4.能借助椭圆的方程，用代数法研究椭圆的简单几何性质，在研究过程中，充分应用数形结合的思想，即先用几何眼光观察椭圆的几何性质，再利用椭圆的标准方程进行代数论证理解参数a，b，c，e的几何意义及其相互关系，知道用椭圆的基本量表达离心率，也可以结合三角函数知识解决离心率大小和椭圆圆扁程度的关系，理解离心率大小对椭圆形状的影响，感悟联系的观点，体会数形结合与类比的思想，能说出用代数法探究圆锥曲线性质的基本思路，体会解析几何中代数运算是基于对形的特征的把握。 5.通过对例题，习题中与椭圆性质有关题目的分析，能归纳提升感受椭圆更多的几何特征，了解圆锥曲线的统一定义，并会进行简单应用。 6.能梳理出研究椭圆的架构，为后续双曲线，抛物线的研究形成示范，奠定类比的基础。 双曲线 1.能类比椭圆的定义，通过改变其中的运算类型，由距离之和到距离之差提出值得研究的问题；通过绘制满足条件的点的轨迹，认识双曲线的几何特征，得出双曲线的定义。 2.能推导双曲线的方程，能解释方程的结构特征。 3.能在直观感知双曲线几何特征的基础上，依据双曲线的标准方程用代数方法推导双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等简单几何性质。 4.能用双曲线的定义、标准方程及简单几何性质解决简单的问题，能通过双曲线与方程的学习,体会建立曲线方程，用曲线方程研究曲线性质的方法, 发展数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理素养。 5.能利用双曲线的方程解决数学问题和实际问题。 6.能用直线的方程和双曲线的标准方程研究直线与双曲线的位置关系，会求解直线与双曲线的交点，弦长等问题。 抛物线 1.能利用椭圆、双曲线的性质（“统一定义”），发现和提出问题，通过具体实例得出抛物线的几何特征，形成抛物线的定义。 2.能推导抛物线的标准方程。 3.能通过方程研究抛物线的几何性质，并能通过代数运算证明抛物线的简单几何性质。 4.能利用直线、抛物线的方程研究它们的位置关系。 5.能用抛物线的方程解决数学问题和现实问题。 三、章节内容与前后知识的横纵联系 （一）与初中知识的联系 1.与直线与圆的研究不同。直线与圆是学生在初中学习了大量的用纯几何的方法证明其几何性质，在高中阶段学习一种新的方法—坐标法，来研究初中已经获得的一些几何性质，让同学们来体会坐标法的应用。 2.圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形. 虽然在初中阶段学习函数的时候，同学们听说过抛物线、双曲线的名词，当时的认识只是停留在直观的感受. 从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的图像叫做抛物线；学习反比例函数时，教师告知反比例函数的图像是双曲线，并且是以坐标轴为渐近线的. 对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白. 只有学习了本单元内容之后，学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识. （2） 本章在高考中地位与作用 年份 试卷类型 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线综合应用 2020 全国新课标I卷（山东卷） 9圆锥曲线的方程与性质   13直线与抛物线，求焦点弦长 22直线与椭