专题3-2 椭圆大题综合11种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 3.2 椭圆大题综合归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 求椭圆方程 · 【题型二】 求椭圆轨迹方程 · 【题型三】 韦达定理基础型 · 【题型四】 直线过（m，0）型设法应用 · 【题型五】 中点弦型 · 【题型六】 面积基础型 · 【题型七】 无定点无斜率型直线 · 【题型八】 求面积资质型 · 【题型九】 椭圆与直线过定点 · 【题型十】 椭圆与直线斜率定值型 · 【题型十一】线段定比分点型 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】求椭圆方程 【典例分析】 设椭圆：（），长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程． 【提分秘籍】 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【变式演练】 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)与椭圆有相同的焦点，且经过点； (2)点，，，中恰有三个点在椭圆上. 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点． (2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 【题型二】求椭圆型轨迹方程 【典例分析】 1..在平面直角坐标系中，已知点， ，设直线，的斜率分别为，，且，记点A的轨迹为E,求E的方程． 2.．若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 【提分秘籍】 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 【变式演练】 1.一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由． 2.已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形． 【题型三】韦达定理基础型 【典例分析】 （2023·陕西西安·统考二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值. 【提分秘籍】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式演练】 1.（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程； (2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程． 2.（2022秋·陕西汉中·高二校联考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程． 【题型四】直线过（m，0）型设法应用 【典例分析】 （2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为. (1)求的方程. (2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立. 【提分秘籍】 如果直线过x轴上定点（m，0），则可以设方程为x=ty+m，其中t为变量，这个设法直线，包含垂直型直线，但不包括水平（x轴）型直线 【变式演练】 1.．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程． 2.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知，E为直线上一纵坐标不为0的点，且直线DE交C于H，G两点，证明：. 【题型五】中点弦型 【典例分析】 椭圆的一个焦点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)求以点为中点的弦所在的直线方程. 【提分秘籍】