18.1 函数的概念（讲+练，十大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

18.1 函数的概念 1.通过具体实例认识并分清常量、变量、自变量和函数； 2.理解变化过程中的两个变量之间的相互依赖关系,从而理解函数的概念，了解函数符号“y=f（x）”的意义； 3.理解函数的定义域、函数值的意义，会求简单情况下函数的定义域、函数值. 知识点一 常量和变量 在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量. 注意： (1) 变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变； (2) “常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量; (3) 判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中其数值是否发生变化; (4) 变量、常量与字母的指数没有关系,如S=r²中,变量是“S和“r”（不能说r²）,常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出. 即学即练 （2023春·广东河源·七年级统考期末）球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是(   ) A．变量是M，R；常量是π B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，π；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是M 知识点二 自变量与函数 1.函数 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数. 例如,在s=60t中,有两个变量s与t,当t变化时，s也随之发生变化,并且对于t在其取值范围内的每一个值，s 都有唯一确定的值与之对应,我们就称t是自变量,s是t的函数 注意：函数是相互关系，一定要说谁是谁的函数，不能直接说s是函数. 2.对函数定义的理解 (1)有两个变量.例如，在三角形中，若三个内角的度数分别为x,y,z，则有关系 中有三个变量，y就不是x的函数. (2) 函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化 (3) 函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值,有且只有一个值与之对应;对自变量x的不同取值，y的值可以相同,如:函数,当和时，的值都是 例如，如:,当x=1时,有两个值与之对应,所以不是的函数. 3.自变量、因变量 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值唯一确定的另一个变量即为因变量，也就是该自变量的函数. 知识点三 函数解析式与函数关系的表达 1.函数解析式 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式. 2.函数关系的三种表示形式 （1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示; （2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系; （3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况. 注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系 即学即练1 （2023春·山东烟台·六年级统考期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．    (1)根据图2填表： x（min） 0 3 6 8 12 … y（m） ___ ___ ___ ___ ___ … (2)根据图中的信息，解答下列问题： ①摩天轮转一周需要多长时间？ ②摩天轮圆上一点离地面的最大高度是多少？ ③求出摩天轮的周长． 即学即练2 （2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．  D．   知识点四 函数的定义域与函数值 1.函数的定义域 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法: 类型 特点 自变量取值范围 举例 整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数) 分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数 根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数 零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数 综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义 在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义. 2.函数值 如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值. 3.符号“”的意义 为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用