单元提分专题06 勾股定理－2023-2024学年八年级数学上册单元测试定心卷（苏科版）

专题06 勾股定理提分题 （原卷） 一、用勾股定理解三角形 1．在中，，，点D在上（不与点B，C重合）．    (1)如图1，若是直角三角形， ①当时，求的长； ②当时，求的长． (2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：． 2．如图，在中，，E为延长线上一点，且 交于点F．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若 ，F为中点，求的长． 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．数形结合是我们解决问题常用到的思想方法．    (1)观察发现：如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙)，拼成一个宽为15的长方形，求正方形纸片A、B的边长． (2)推理猜想：教材中我们可以运用拼图，用两种不同的求面积方法，导出一些结论，下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算图2的面积，S=__________________，或者S= ____________________，经化简后，请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系： ___________________________________． (3)灵活应用：图3中，以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形，若，，则以b为边长作的正方形面积=_______________． 4．如图，已知点在线段上，分别以，为边长在上方作正方形，，点为中点，连接，，．设，．    (1)若，判断的形状为______； (2)请用含，的式子表示的面积； (3)若的面积为，，求的长． 三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．    求证： (1)； (2)． 6．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 7．如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 8．解答下列问题： (1)在数轴上作出表示的点； (2)如图，在中，，是的中点，于点.求证. 9．在等腰中，，点为平面内一点，连、、． （1）如图1，若点是内一点，且，求证：； （2）如图2，若点是外一点，且，，求证：； （3）如图3，若点在的延长线上，过点作交于点，若，，求证：． 四、利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 11．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 12．如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 13．在中，，，．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧． (1)阅读并填空：如图，若为锐角，则； 证明：如图，过点作于点，则． 在中，， 在中， ___________， ∴___________． 即， ∴． ∵，，∴，∴． (2)解答问题：如图，若为钝角，试推导与的大小关系． 14．如图，中，，为中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．    (1)如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系　 　； (2)如图2，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，，请直接写出线段的长　 　． 五、以弦图为背景的计算题 15．公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．    (1)如图1，将等腰直角三角板顶点放在直线上，过点作，过点作，垂足分别为，设，请结合此图证明勾股定理． (2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，求这个图案的面积． 16．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．且．如果把图中的直角三角形继续画下去，且三角形OA1A2的面积记作S1，三角形OA2A3的面积记作S2，那么， （1）求出OA10和S10的值； （2）求的值． 六、用勾股定理构造图形解决问题 17．如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即米，），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度． 18．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数