2.2.3一元二次不等式的解法（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.2.3一元二次不等式的解法（1） 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m。已知甲、乙两种车型的刹车距离m与车速km/h之问的关系分别为 , 试判断甲、乙两车有无超速现象. 1.通过实例了解一元二次不等式. 2.理解一元二次方程、一元二次不等式与相应二次函数的关系.（难点） 3.掌握简单一元二次不等式的解法.（重点） 探究点1 一元二次不等式的定义 思考1：在上述情境中，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，你能列出不等式解决这个问题吗？ 【解析】甲： ,乙： 即和 思考2：这两个不等式有什么共同点？ 【解析】有两个共同点 （1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2. 一元二次不等式定义： 　　一般地,形如 的不等式称为一元二次不等式.其中,,是常数,而且. 一元二次不等式的一般表达形式中，不等号也可以是 “”“≥”或“≤”. 思考：如何解一元二次不等式呢？ 探究点1 一元二次不等式的解法 思考1：对于一元二次不等式, （1）集合中哪些数是不等式的解？ （2）如何解这个不等式？ 【解析】（1）是不等式的解； 同号 或 （2）不等式可化为两个不等式组 或 解得或, 因此,不等式的解集为. 思考2：一元二次不等式如何解？ 【解析】不等式可化为两个不等式组 或 解得, 因此,不等式的解集为. 异号 或 追问：根据上述问题你能说出一元二次不等式（或）的解集吗？ 一般地，如果,则不等式的解集是 不等式的解集是 【总结】 练一练：1.不等式的解集是 . 2.不等式的解集是 . 3.不等式的解集是 . 口诀：小于号取中间，大于号取两边 例1.求不等式的解集. 【解析】因为. 所以不等式等价于, 因此，所求解集为. 一元二次不等式的一般形式可通过因式分解进行等价转化. 跟踪训练：求问题情景中不等式的解集. 【解析】可化为 , 解得（舍去）或 因此甲车的车速略大于30km/h. 【解析】可化为 , 解得（舍去）或 因此乙车的车速略大于50km/h. 上述一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.这种方法只能在不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？ 思考：下列不等式的解集是什么？ （1）；（2）；（3）. 【解析】因为任何一个实数的平方一定是一个非负数， 因此,（1）解集为；（2）解集为; （3）两边同时开根号可得, 即,解得,因此，解集为. 配方法：一元二次不等式通过配方可以转化为或的形式.当时，直接得到解集；当时，两边开根号转化为绝对值不等式. 例2.求下列不等式的解集： （1）; （2）； （3）；（4）. 【解析】 （1）因为. 所以原不等式可化为,即， 两边开平方得,从而或, 解得或, 所以原不等式的解集为. （2）因为. 所以原不等式可化为,即， 两边开平方得,从而, 解得, 所以原不等式的解集为. （3）原不等式可化为 又因为. 所以原不等式可化为,解得, 所以原不等式的解集为. （4）原不等式可化为 因为. 所以原不等式可化为, 即, 所以原不等式的解集为. 跟踪训练.求下列不等式的解集： （1）; （2）. 【解析】 （1）. 所以原不等式可化为 ,即， 两边开平方得, 从而 解得 所以原不等式的解集为 . （2）原不等式可化为 因为. 所以原不等式可化为 , 即,所以 所以或 解得或 所以原不等式的解集为 . 方法 不等式类型 解法 因式分解法 配方法 >0 （或） 解集为 或 （或） 时, 转化为 或 $$