第1章 专题特训一一元二次方程解法的灵活应用- 【拔尖特训】2023-2024学年九年级上册数学 苏科版

　　　　　专题特训一　一元二次方程解法的灵活应用 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 缺“一”选“直” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中一次 项系数b=0时,往往采用直接开平方法比较简便. 1. 解方程: (1) 3x2-108=0. (2) (2022·齐齐哈尔)(2x+3)2=(3x+2)2. 类型二 遇“大”选“配” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中常数 项c较大时,往往采用配方法比较简便. 2. 解方程:x2+6x-8091=0. 类型三 遇“小”选“公” 当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中系数 a、b、c相对不大时,往往采用公式法比较简便. 3. 解方程:3x2-x-1=0. 类型四 有“公”选“因” 当一元二次方程各部分中含有公因式时,往往 采用因式分解法比较灵活. 4. 解方程: (1) ★(2022·南京模拟)x(2x+3)=4x+6. (2) 2(4-x)2=x2-16. 类型五 换元法解方程 当一元二次方程中具有共同特征的部分时,常 常把这个部分看成是一个整体,并设定一个新的未 知数,从而建立新的一元二次方程,进而先求得这个 新的未知数,再求得原方程的解. 5. 阅读下面的材料,回答问题: 解方程x4-5x2+4=0.这是一个一 元四次方程,根据该方程的特点,它 的解法通常如下: 设x2=y,则x4=y2. ∴ 原方程可化为y2-5y+4=0①,解得 y1=1,y2=4. 当y=1时,x2=1,解得x1=1,x2=-1. 当y=4时,x2=4,解得x3=2,x4=-2. ∴ 原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2, x4=-2. (1) 在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到降次的目的,体现了数学的 转化思想. (2) 解方程:(x2+3x)2+5(x2+3x)- 6=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 第1章　一元二次方程 {#{QQABYQQEogAIAAIAAQhCQwVSCgCQkAACCKoGBFAEsAAAwQNABAA=}#} 的第三边的长<13.∴ 在四个选项 中,这个三角形的第三边的长只可能 是10. 11. x1=3,x2=8 [解析]由题意,得 (x-3)※5=(x-3)2-5(x-3), ∴ (x-3)2-5(x-3)=0.∴ (x-3)· (x-3-5)=0,解得x1=3,x2=8. 12. 2(x+3)(x-5) [解析]∵ x2- 2px+3q=0的两个根分别是-3和 5,∴ 2x2-4px+6q=2(x2-2px+ 3p)=2(x+3)(x-5). 13. -2或1 [解析]由题意,得(x+ 1)2-2x(x+1)=x-1.整理,得 (x+1)(1-x)=x-1,即(x+2)· (1-x)=0,解得x1=-2,x2=1. ∴ x的值为-2或1. 14. 当x+3≥0,即x≥-3时,原方 程可化为x2+(x+3)-9=0,即 x2+x-6=0. 分解因式,得(x-2)(x+3)=0,解得 x1=-3,x2=2. 当x+3<0,即x<-3时,原方程可 化为x2-(x+3)-9=0,即x2-x- 12=0. 分解因式,得(x-4)(x+3)=0,解得 x3=4,x4=-3. 两个解都不符合x<-3,舍去. 综上所述,原方程的解为x1=-3, x2=2. 15. C [解析]∵ 关于x 的方程 2x2+mx+n=0的两个根是-2和 1,∴ 2x2+mx+n =2(x+2)(x- 1)=0.∴ 2x2+mx+n=2x2+2x- 4.∴ m =2,n= -4.∴ nm = (-4)2=16. 16. (1) 设两个根分别为a、a+1,a 为自然数,则原方程可化为(x-a)· (x-a-1)=0. ∴ x2-(2a+1)x+a(a+1)=0. ∴ k=-(2a+1)=-2a-1,a(a+ 1)=56. ∴ a2+a-56=0,解 得a1=7, a2=-8(不合题意,舍去). ∴ a=7. ∴ a+1=8,k=-2a-1=-15. ∴ k的值为-15,这个一元二次方程 的根为x1=7