专题04 椭圆的常考问题（共6种类型69题）-2023-2024学年高二数学上学期专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（人教A版）

专题04 椭圆的常考问题 共6种类型69题 目录 【类型一 椭圆的定义及标准方程相关计算】 1 【类型二 椭圆焦点三角形相关问题】 16 【类型三 根据椭圆的有界性求范围或最值】 31 【类型四 椭圆离心率的求解】 41 【类型五 椭圆与反光镜的设计问题】 52 【类型六 椭圆在行星轨道问题中的应用】 57 【类型一 椭圆的定义及标准方程相关计算】 一、单选题 1．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． 3．曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 4．椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 6．已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)已知的三个顶点都在椭圆上，坐标原点O是的重心，求证：的面积为定值. 7．已知，动点满足：且三点共面.线段的垂直平分线为，点在上且，为线段延长线上的点，且，记的轨迹为曲线. (1)求证，并建立适当的坐标系，求的方程； (2)判断直线与公共点的个数，并说明理由. 8．已知椭圆C的两个焦点分别是，，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于，O为坐标原点，直线与椭圆C相交于A，B（不重合）两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求m的取值范围； (3)求的最大值． 9．已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为． (1)求圆的方程： (2)已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）． 10．已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点. 11．根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，过点； (2)经过两点． 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)； (2)已知椭圆的焦点坐标为，并且经过点． 三、填空题 13．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 . 14．已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为 . 16．经过、两点的椭圆的标准方程是 ． 【类型二 椭圆焦点三角形相关问题】 一、多选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（    ） A．的面积的最大值为 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．恒成立 D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为 2．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（    ） A．周长为14 B．面积最大值为12 C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形 3．已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．当时，的边 C．当时，的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 4．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ） A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆