第21章 21.3 第1课时二次函数与一元二次方程的关系-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】沪科版

21.3　二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 ▶ “答案与解析”见P11 1. ★(2022·百色期中)在平面直角坐标系中,二 次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则 方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 (第1题) (第2题) 2. 若二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象 如图所示,则方程ax2+bx+c=0的根是 . 3. 已知二次函数y=x2-2mx+m2-3(m 是 常数). (1) 求证:不论m 为何值,该函数的图象与 x轴都有两个交点. (2) 当m= 3时,求该二次函数的图象与 x轴的交点坐标. 4. 若抛物线y=ax2+bx+c与x 轴两个交点 之间的距离为10,且4a+b=0,则关于x 的 方程ax2+bx+c=0的根为 ( ) A. x1=-7,x2=3 B. x1=-6,x2=4 C. x1=6,x2=-4 D. x1=7,x2=-3 5. (2021·淄博)若对于任意实数a,抛物线y= x2+2ax+a+b与x 轴都有公共点,则b的 取值范围是 . 6. 某班数学兴趣小组对函数y=x2- 2|x|的图象和性质进行了探究,探 究过程如下,请补充完整. x … -3 -52 -2 -1 0 y … 3 54 0 -1 0 x 1 2 52 3 … y -1 0 54 3 … (1) 根据上表中的数据,在如图所示的平面 直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一 部分,请画出该函数图象的另一部分. (2) 观察函数图象,写出2条函数的性质: . (3) 进一步探究函数图象发现: ① 方程x2-2|x|=0的实数根为 . ② 方程x2-2|x|=2有 个实数根. ③ 若关于x的方程x2-2|x|=a有4个实 数根,则a的取值范围是 . (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(沪科版)九年级上 {#{QQABCQSEgggAABJAAQgCQwkSCgKQkBGCCKoGREAEoAAAAQNABAA=}#} 抛物线向下平移m 个单位,使其顶点 落在正方形OABC内(不包括边上), ∴ m 的取值范围是1<m<3. 10. (1) ∵ 二次函数的图象的顶点为 A(-4,-1), ∴ 设二次函数的表达式为y=a(x+ 4)2-1. ∵ 二次函数的图象经过点B(-2,3), ∴ 3=a(-2+4)2-1,解得a=1. ∴ 二次函数的表达式为y=(x+ 4)2-1. (2) 存在.设一次函数的表达式为 y=kx+b.把A(-4,-1)和B(-2, 3)代 入,得 -4k+b=-1, -2k+b=3, 解 得 k=2, b=7. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+7. 在y=2x+7中,令x=0,则y=7, ∴ C(0,7). 设P(0,n), ∴ PC=|n-7|. ∴ S△PAB =S△PAC -S△BPC = 1 2 × (4-2)·|n-7|=3. ∴ |n-7|=3. ∴ n=4或n=10. ∴ 点P 的坐标为(0,4)或(0,10). 11. (1) ∵ 抛物线y=x2+mx-2m 经过点A(1,0), ∴ 0=1+m-2m,解得m=1. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2+x-2. ∵ y=x2+x-2= x+12 2 -94 , ∴ 抛物线的顶点P 的坐标为 -12, -94 . (2) 易知抛物线y=x2+mx-2m 的 顶 点 P 的 坐 标 为 - m2, -m 2+8m 4 . 由点 A(1,0)在x 轴的正半轴上, 点P 在x轴的下方,∠AOP=45°,知 点P 在第四象限. 过点 P 作 PQ⊥x 轴 于 点 Q,则 ∠POQ=∠OPQ=45°. ∴ PQ=OQ,即m 2+8m 4 =- m 2 ,解 得m1=0,m2=-10. 当m=0时,点 P 不在第四象限, 舍去, ∴ m=-10. ∴ 抛物线对应的函数