第21章 专题特训二反比例函数与一次函数背景下的图形问题-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】沪科版

专题特训二　反比例函数与一次函数背景下的图形问题 ▶ “答案与解析”见P19 类型一 三角形面积类问题 1. (2022·常州)如图,在平面直角坐标系中,一 次函数y=2x+b的图象分别与x 轴、y 轴 交于点A,B,与反比例函数y= k x (x>0)的 图象交于点C,连接OC.已知点B 的坐标为 (0,4),△BOC 的面积是2.求: (1) b,k的值. (2) △AOC 的面积. (第1题) 类型二 反比例函数值与一次函数值的大小比较 2. (2022·恩施州)如图,在平面直角 坐标系中,O 为坐标原点,∠C= 角三角形ABC 的边BC 上一点,且S△ABC 90°,A(0,2),C(6,2),D 为等腰直 = 3S△ADC,反比例函数y1= k x (k≠0)的图象经 过点D. (1) 求反比例函数的表达式. (2) 若AB 所在直线对应的函数表达式为 y2=ax+b(a≠0),当y1>y2 时,求x 的取 值范围. (第2题) 类型三 存在性问题 3. 如图,一次函数y= 1 2x+2 的图象 与x轴交于点B,与反比例函数y= k x (k≠0)的图象的一个交点为A(2,m). (1) 求反比例函数的表达式. (2) 设M 是直线AB 上一动点,过点 M 作 MN∥x 轴,交反比例函数y= k x 的图象于点 N.是否存在点M,使得以B,O,M,N 为顶 点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出 所有满足条件的点M 的坐标;若不存在,请 说明理由. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 第21章　二次函数与反比例函数 {#{QQABCQQAggiAAABAAQhCQw0iCgGQkAECCCoGREAMoAAAQRNABAA=}#} 专题特训二　反比例函数 与一次函数背景下的图形问题 1. (1) ∵ 一次函数y=2x+b的图 象经过点B(0,4), ∴ b=4. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+4. ∵ OB=4,△BOC的面积是2, ∴ 1 2OB ·xC=2,即 1 2×4 ·xC=2. ∴ xC=1. 把x=1代入y=2x+4,得y=6, ∴ 点C的坐标为(1,6). ∵ 点C在反比例函数y= k x (x>0) 的图象上, ∴ k=1×6=6. (2) 把y=0代入y=2x+4,得2x+ 4=0,解得x=-2. ∴ 点A 的坐标为(-2,0). ∴ OA=2. ∴ S△AOC= 1 2×2×6=6. 2. (1) ∵ A (0,2),C (6,2), ∴ AC=6. ∵ △ABC 是等腰直角三角形,且 ∠C=90°, ∴ BC=AC=6. ∵ D 为等腰直角三角形ABC 的边 BC上一点,且S△ABC=3S△ADC, ∴ 易得CD=2. ∴ 点D 的坐标为(6,4). ∵ 反比例函数y1= k x (k≠0)的图象 经过点D, ∴ k=6×4=24. ∴ 反比例函数的表达式为y1= 24 x. (2) 易知B(6,8). 把A(0,2),B(6,8)代入y2=ax+b, 得 b=2, 6a+b=8, 解得 a=1 , b=2. ∴ y2=x+2. 联 立 y= 24 x , y=x+2, 解 得 x=-6,y=-4 或 x=4, y=6. ∴ 两函数图象的交点为(-6,-4), (4,6). ∴ 当y1>y2 时,x 的取值范围是 x<-6或0<x<4. 3. (1) ∵ 一次函数y= 1 2x+2 的图 象经过点A(2,m), ∴ m=12×2+2=3. ∴ 点A 的坐标为(2,3). ∵ 反比例函数y= k x (k≠0)的图象 经过点A(2,3), ∴ k=2×3=6. ∴ 反比例函数的表达式为y= 6 x. (2) 存在. 对于 y= 1 2x+2 ,令 y=0,得 x=-4, ∴ 点B 的坐标为(-4,0). ∴ BO=4. ∵ 以B,O,M,N 为顶点的四边形是 平行四边形,且MN∥BO, ∴ MN=BO=4. 设M(2a-4,a),则N 6a ,a . ∴ 2a-4-6a =4 ,解得