专题02 空间向量与空间角、空间距离【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02空间向量与空间角、空间距离（基础30题8种题型） · 【题型1】异面直线夹角的向量求法 · 【题型2】线面角的向量求法 · 【题型3】面面角的向量求法 · 【题型4】共面直线夹角的向量求法 · 【题型5】点到直线距离的向量求法 · 【题型6】点到平面距离的向量求法 · 【题型7】平行平面距离的向量求法 · 【题型8】异面直线距离的向量求法 · 01异面直线夹角的向量求法 1．已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 2．已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．点到平面的距离为 C．四面体的外接球体积为 D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆 3．在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积是 B．线段的长的取值范围是 C．若，分别是线段，的中点，则与平面所成的角为 D．若，分别是线段，的中点，则与直线所成的角为 4．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成角的正弦值为 D．平面与平面所成角的正切值是 · 02线面角的向量求法 5．图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．    (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.    (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 7．如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 8．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．    · 03面面角的向量求法 9．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则当平面与平面所成角的余弦值为时，三棱锥的体积为 .    10．如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，. (1)求多面体的体积； (2)当点在棱上运动时（包括端点），求二面角的余弦值的绝对值的取值范围. 11．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D．    (1)求证：平面BDE； (2)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 12．在直三棱柱中，，，，点M在线段上，．    (1)若为锐角，求实数的取值范围； (2)若二面角的余弦值为，求线段AM的长度． · 04共面直线夹角的向量求法 13．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．当时， 14．如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离是 B．点到平面的距离是 C．正方体底面与平面夹角的余弦值是 D．在平面内射影与所成角的余弦值为 15．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论：     ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． · 05点到直线距离的向量求法 17．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．当时， 18．如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离是 B．点到平面的距离是 C．正方体底面与平面夹角的余弦值是 D．在平面内射影与所成角的余弦值为 19．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论：     ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． · 06点到平面距离的向量求法 21．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一