一元二次函数与一元二次不等式讲义-2024届高三数学一轮复习

一元二次函数与一元二次不等式 二次函数的性质与图象 【二次函数的性质】 ①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点． ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝； ③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c； 【练习】 1．函数的最大值为（ 　　） A． B． C．1 D． 2．已知函数y＝ax2﹣x+1在x＞﹣1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　 ） A．a＜﹣1 B． C． D． 3．已知函数f（x）＝x2﹣（2b﹣4）x+3在（﹣1，1）上不单调，则实数b的取值范围是（ 　　） A． B． C． D． 4．若x2﹣2（m+4）x+25是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．1或﹣9 B．2 C．3 D．5或1 5．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值b，则a+b的值为（　　） A．13 B．5 C．11 D．14 6．已知函数y＝x2﹣3x﹣4，当0≤x≤m时，，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥3 B． C． D． 7．已知函数f（x）＝x2+2kx﹣5在上具有单调性，则实数k的取值范围为（　　） A．k≤﹣4 B．k≥2 C．k≤﹣4或k≥2 D．k＜﹣4或k＞2 8．已知y＝x2+4ax﹣2在区间上为减函数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（　　） A．f（x）＞0恒成立 B．f（x）最大值是5 C．f（x）与y轴无交点 D．f（x）没有最小值 10．若函数f（x）＝ax2+x+a在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．若函数f（x）＝x2﹣kx+2在上是增函数，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 一元二次不等式 【概念】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 【特征】 当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 【练习】 1．设集合A＝{x|﹣5＜x＜4}，B＝{x|x2+3x﹣18＜0}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣3＜x＜4} B．{x|﹣3＜x＜6} C．{x|﹣5＜x＜3} D．{x|﹣6＜x＜4} 2．已知集合M＝{x|x2﹣4x+3≤0}，N＝{x|x＞2}，则M∩N＝（　　） A． B． C． D． 3．若不等式ax2+2ax﹣1＜0的解集为R，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1≤a≤0 D．﹣1＜a≤0 4．不等式（x﹣3）（x﹣7）＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 5．关于x的不等式mx2+2mx+1＜0的解集为空集，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 一元二次不等式答案 二次函数的性质与图象 1．【解答】解：令，则， 由二次函数的性质可知，．故选：D． 2．【解答】解：当a＝0时，y＝﹣x+1在x＞﹣1时，y随x的增大而减小，符合题意； 当a≠0时，若在x＞﹣1时，y随x的增大而减小，则，解得﹣， 综上，．故选：D． 3．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣（2b﹣4）x+3的对称轴x＝b﹣2，因为函数f（x）在（﹣1，1）上不单调， 所以﹣1＜b﹣2＜1，得1＜b＜3．故选：B． 4．【解答】解：若x2﹣2（m+4）x+25是一个完全平方式，则x2﹣2（m+4）x+25＝（x±5）2＝x2±10x+25， 所以2（m+4）＝±10，解得m＝1或﹣9．故选：A． 5．【解答】解：因为y＝x2﹣2x+3的开口向上，对称轴x＝1，因为0≤x≤4时， 当x＝4时，y有最大值a＝