第1章 第5节 一元二次函数与一元二次不等式-【优化探究】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版多选 新教材 新高考）

第五节　一元二次函数与一元二次不等式 课程标准　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．　2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．　3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，并会解一元二次不等式． 授课提示：对应学生用书第14页 知识点　一元二次方程与相应的二次函数、 二次不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，x1)∪(x1，＋∞) R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集 (x1，x2) ∅ ∅ 1．下面四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0　　　 B．x2－2x＋5＞0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断． 答案：C 2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为(　　) A．(1,4) B．(－1,4) C．(－4,1) D．(－1,3) 解析：原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为(－1,4)． 答案：B 3．(2023·大连质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 答案：A 4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C. D.∪(1，＋∞) 解析：①当m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3，不合题意．②当m≠－1时， 则 解得m＜－. 答案：C 5．(易错题)若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是________． 解析：①当m＝0时，3＞0恒成立，满足条件． ②当m≠0时，则Δ＝16m2－12m＜0，解得0＜m＜. 综上可得实数m的取值范围是. 答案： 授课提示：对应学生用书第14页 题型一　不含参数的不等式的解法 例1　(1)集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，则A∩B＝(　　) A．(3，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(2,3) (2)(2021·上海卷)不等式<1的解集为________； (3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________； (4)若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为{x|1＜x＜m}，则实数a的值为________，实数m的值为________． [解析]　(1)B＝{x|x2－2x－3＞0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，A＝{x|x＞2}，故A∩B＝(3，＋∞)． (2)<1，即－1<0，即<0， 解得－7<x<2，因此不等式的解集为(－7,2)． (3)原不等式等价于 即 即 解得 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为[－2，－1)∪(2,3]． (4)由题意可知不等式ax2－6x＋a2＜0可化为a(x－1)·(x－m)＜0的形式且a＞0，所以解得m＝2，a＝2. [答案]　(1)A　(2)(－7,2)　 (3)[－2，－1)∪(2,3]　　(4)2　2 　解一元二次不等式的4个步骤 1．(2023·泉州质检)不等式＞1的解集为(　　) A.　　　　　　　 B．(－∞，1) C.∪(1，＋∞) D. 解析：原不等式等价于－1＞0， 即＞0，整理得＜0， 不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0，解得＜x＜1. 答案：A 2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　) A．{x|2<x<3} B．{x|x≤2，或x≥3} C. D. 解析：∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0， ∴ 解得 则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3. 答案：B 题型二　含参数的不等式的解法 例2　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥