第5章 二次函数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第五章 二次函数（知识归纳+题型突破） 1、 理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。 2、 会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图像的平移。 3、 熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题。 一、二次函数的基本图象和性质 （1）性质： ①开口方向：，开口向上；，开口向下 开口大小：越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大 ②顶点坐标：原点或（0，0） ③对称轴：y轴或直线x=0 ④最值：，最小值0；，最大值0 ⑤增减性：对称轴左侧：，y随x的增大而减小；，y随x的增大而增大 对称轴右侧：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小 （2）性质： ①开口方向：，开口向上；，开口向下 ②顶点坐标：（0，k） ③对称轴：y轴或直线x=0 ④最值：，最小值k；，最大值k ⑤增减性：对称轴左侧：，y随x的增大而减小；，y随x的增大而增大 对称轴右侧：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小 （3）性质： ①开口方向：，开口向上；，开口向下 ②顶点坐标：（h，0） ③对称轴：直线x=h ④最值：，最小值0；，最大值0 ⑤增减性：对称轴左侧：，y随x的增大而减小；，y随x的增大而增大 对称轴右侧：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小 （4）性质： ①开口方向：，开口向上；，开口向下 ②顶点坐标：（h，k） ③对称轴：直线x=h ④最值：，最小值k；，最大值k ⑤增减性：对称轴左侧：，y随x的增大而减小；，y随x的增大而增大 对称轴右侧：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小 （5） 用配方法推导顶点坐标公式： 顶点坐标是（，） 对称轴是平行于y轴的直线 总结： 开口方向/大小 ，开口向上；，开口向下 顶点 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） (，) 对称轴 最值 增减性 （对称轴左侧） ，y随x增大而减小 ，y随x增大而增大 二、待定系数法求解析式 用待定系数法求二次函数的解析式的三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式； 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式； 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设交点式（其中、是抛物线与x轴交点的横坐标）； 4．特殊情况下：①顶点在原点：；②顶点在x轴上：；③顶点在y轴上：． 三、函数的方程思想 1、抛物线与坐标轴的交点 抛物线与y轴的交点 抛物线与y轴必有一个交点（0，c） 抛物线与x轴的交点 当时，抛物线与x轴有两个不同的交点 其中，是一元二次方程的两根，则抛物线与x轴的两个交点坐标为A（，0），B（，0） 当时，抛物线与x轴有一个交点 当时，抛物线与x轴没有交点 2、直线（或直线或直线）与抛物线的交点 运用方程思想联立方程（或或）求出方程组的解，从而得到交点坐标 四、二次函数的图象与各项系数之间的关系 二次函数的图像与各项系数之间的关系（判断它们的符号） （1）a：开口 （2）b：对称轴：左同右异 （3）c：与y轴交点的纵坐标 （4）： （5） ： （6）：与x轴交点情况 （7）：对称轴 （8）：对称轴 解析：（1）a的符号决定抛物线的开口方向：，开口向上；，开口向下． 决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． （2）a和b共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）． 当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧，简要概括为“左同右异” （3）c的大小决定抛物线与y轴交点的纵坐标． 当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴． 五、常见题型及解题方法： 1、销售类问题：利用二次函数求最值方法解决销售问题中的最大利润、最节省方案等问题； 2、建立二次函数模型解决问题：通过建立直角坐标系、设函数解析式、将条件转化为点坐标代入解决铅球、导弹、抛球、跳水、喷水池及拱桥、隧道问题等． 题型一 二次函数的判断 【例1】下列各式中，y是x的二次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解A、当时，函数不是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意， C、不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选D． 【例2】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的定义：形如且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：，自变