第5章 二次函数（二次函数综合压轴）-2023-2024学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第五章 二次函数（压轴题专练） 一、特殊三角形问题 1．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； (3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 二、特殊四边形问题 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线，坐标平面内点，点，B是该抛物线上的一个动点，是平面上一点． (1)无论t取何值，该抛物线都过一个定点，请求出这个定点； (2)当且四边形是平行四边形时，求y关于x的关系式； (3)当四边形是平行四边形时，每任取一个t的值，y都有对应的最大值，求这些最大值中的最小值． 三、面积问题 6．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．    (1)求此抛物线的解析式； (2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标； (3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________； (4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________． 7．已知抛物线交轴于和，交轴于．    (1)求抛物线的解析式； (2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标； (3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标； 4、 角度问题 8．已知二次函数过点、和三点． (1)求抛物线函数表达式； (2)将二次函数向右平移个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为4，试求k的大小； (3)M、N、P是抛物线上互不重合的三点，已知M，N的横坐标分别是m，，点M与点P关于抛物线的对称轴对称，求的度数． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标． (3)如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点． ①求的度数； ②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标． 10．已知抛物线过点，交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，且对于任意实数，恒有成立． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若，，三点都在抛物线上且总有，请直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二次函数（压轴题专练） 一、特殊三角形问题 1．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标； (3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据抛物线经过，两点，列方程组，解之即可得到答案； （2）令，则，求得，作，垂足为，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设点横坐标为，得到方程，求得，，当时，，当时，，于是得到答案； （3）求得，设，分两种情况①当时，②当时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解： 抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：令，则， ， 如图，作，垂足为，    则， ， ，， 又是中点， ， ， ， 设点横坐标为，则， 解得：，， 当时，， 当时，， 点的坐标是：，； （3）解：令，则， ， ， 设， ， ， ①当时，    ， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ； ②当时，    ， ， 解得：， 当时，， ；