24.4(培优课)辅助圆、隐圆(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年九年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

24.4 辅助圆 一、题型特征： ①动点的运动轨迹为圆 ②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点 ③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角（参考知识梳理）。 二、模型本质：两点之间，线段最短。 24.4 辅助圆 1 一、模型搭建 1 一、触发隐圆模型的类型 1 二、分类题型 3 三、对点训练：课堂知识巩固 3 一、模型搭建 一、触发隐圆模型的类型 （1）动点到定点定长模型（共顶点的三条等线段） 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长 （2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定边对定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补 则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧 （5）四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧 二、分类题型 1．如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 3．如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为 ．    4．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 5．如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ． 6．如图，的内切圆与边切于点，与边相切，且与，的延长线相切（为在内的旁切圆），若，，，则 7．在中，，，，点、分别在边、上，且， ，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为 ． 8．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为 ． 9．如图，是和的公共斜边，AC=BC，，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么 ． 10．如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 11．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 13．如图，设是的三条高，若则线段的长为 ． 14．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 15．问题提出  如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． 尝试应用  如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：． 问题拓展  如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）． 16．射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF