6.2 黄金分割（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第6章 · 图形的相似 6.2　黄金分割 1 学习目标 1.了解黄金分割、黄金比的概念； 2.在实际应用中进一步理解线段的比和成比例线段，体会数学与生活的联系. 生活•数学 上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽. 现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值． C B A AB=5cm、BC=3.1cm、AC=8.1cm =≈0.62， =0.62 得出= 生活•数学 芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感. C B A 现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值． AB=4.2cm、BC=2.6cm、AC=6.8cm =≈0.62， =≈0.62 得出= 习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，大多数同学喜欢哪一个矩形？ ① ② ③ ④ D A B C 度量边BC、AB的长度，计算它们的比值，你发现了什么？ 尝试与交流 新知探索 例1 如图，点B在线段AC上，且 = ．设AC＝1，求AB的长． B A C 解：设AB＝x，则BC＝AC－AB＝1－x ． 即x2+x-1=0．　　 解这个方程，得 于是，AB的长为． x1=，x1=（不符合题意，舍去）． x 1-x 由 = ，得 =x, 新知归纳 像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果 = ，那么称线段AC被点B黄金分割(golden section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC与AB)的比值称为黄金比．它的比值为，在计算时，通常取它的近似值0.618 ． B A C 或AB=AC，BC=AB 由定义可得： = = 问题1 如果把 = ，化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？ 讨论与交流 B A C 线段AB是线段BC和线段AC的比例中项. 问题2 线段AC还有其他黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？ 讨论与交流 B A C D = 讨论与交流 B A C 问题3 这两个黄金分割点有何特点？两个黄金分割点之间的长是多少? 这两个黄金分割点关于中点对称. ∵AB=AC， CD=AC， ∴DB=AB+CD-AC， =AC+AC-AC =)AC D 讨论与交流 ② D A B C 问题4 你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？ 两邻边之比满足黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感． B A C 新知应用 例2 如图，已知线段AC＝10 cm，B是线段AC的一个黄金分割点，则其中较长线段AB的长是________cm，较短线段BC的长为_________cm. AB=AC=×10= BC=AC-AB=10- () 新知应用 变式1 已知线段AC＝10 cm，B是线段AC的一个黄金分割点且AB＜BC，则线段AB的长是___________cm. () 变式2 已知线段AC＝10 cm，B是线段AC的一个黄金分割点，则线段AB的长是___________________cm. 或() 变式3 已知线段AC＝10 cm，B、D是线段AC的黄金分割点，则线段BD的长是_____________cm. () 新知应用 例3 按下列步骤作图：①过点C画CD⊥AC，使CD=AC； ②连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E； ③以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B. A C ∟ D E B 在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ 解:设线段 AC=a，则CD=a，AD=a， ∵DE=CD=a， ∴AB=AE=AD-DE=a，BC=， ∴ . ∴点B是线段AC的黄金分割点. 新知应用 A B ∟ E 作法：①过点B作BE⊥AB，且BE=AB. ②以E为圆心，BE长为半径作弧，交AE于点F，由例3可知， ③以B为圆心，AF长为半径作弧；又以A为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C. 连结AC.则△ABC为所求作的黄金三角形. 变式 如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC． F C 1. 东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点. 求AB的长(精确到 0. 1 m). C B A 新知巩固 解：∵点B是线段AC的黄金分割点， ∴AB=0.618AC =0.618×468 =289.224≈28