专题04 基本不等式十个重难点归类-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

专题04基本不等式十个重难点归类 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 【重难点一 直接法求最值】 例1．若正数满足，则的最大值为（    ） A．9 B．18 C．36 D．81 例2．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 注意：应用不等式需满足“一正二定三相等” 【跟踪练习】 练习1．若，且，则的最小值为 ． 练习2．下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 练习3．已知，则的最大值为 . 练习4．已知，则的最小值为 ，此时 ． 【重难点二 配凑法求最值】 例3．已知，代数式的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 例4．当 时，的最小值为 添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式 【跟踪练习】 练习1．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）下列结论正确的是（　　） A．设，则的最小值是 B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最大值是1 练习3．设，求函数的最大值． 练习4．已知函数，，求此函数的最小值. 【重难点三 商式求最值】 例5．函数的最小值为 ． 例6．求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值。 【跟踪练习】 练习1．已知，的最小值为 . 练习2．函数的最小值为 . 练习3．的最大值为 . 练习4．，则的最小值是 ，此时a＝ ． 【重难点四 “1”的代换（一）】 例7．设，若，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 例8．已知，则的最小值为 ． 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用基本不等式求解最值． 【跟踪练习】 练习1．当时，的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 练习2．若正数满足，则的最小值是 . 练习3．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 练习4．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【重难点五 “1”的代换（二）】 例9．已知正数x，y满足，则的最小值是 . 例10．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 需将已知条件通结合两个分母构造“1”的表达式 【跟踪练习】 练习1．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 练习2．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习3．若正数a，b满足，则的取值范围是 ． 练习4．已知正数x，y满足，则的最大值为 . 【重难点六 条件等式有和有积求最值】 例11．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．8 例12．（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是3 D．的最小值是 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 【跟踪练习】 练习1．设为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，均为正数，，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C．7 D． 练习3．若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 练习4．（1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【重难点七 两次基本不等式求最值】 例13．已知a>b>0