专题05 椭圆及其性质（3大考点9种题型）（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题05 椭圆及其性质（考点清单） 知识点一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 01 椭圆的标准方程 【考试题型1】椭圆的定义 【解题方法】如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程． 【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【专训1-1】（2023·高二课时练习）椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【专训1-2】（2023·全国·高二专题练习）如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为（    ） A．6 B．10 C．8 D．12 【考试题型2】椭圆的标准方程 【解题方法】利用待定系数法求椭圆的标准方程 （1）先确定焦点位置；（2）设出方程；（3）寻求a，b，c的等量关系；（4）求a，b的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论． 【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程． （2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程． 【专训2-1】（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2）经过点，离心率为，焦点在x轴上； （3）经过两点，． 【专训2-2】（2023·全国·高二专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标分别为，，经过点； （2）焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为． （3）两个焦点坐标分别是和，并且经过点． （4）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程． 【考试题型3】直线与椭圆的位置关系 【解题方法】直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题． 【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）已知直线，椭圆．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）相交； （2）相切； （3）相离？ 【专训3-1】（2023·江苏·高二专题练习）直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值． 【专训3-2】（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为．过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点． （1）求的值； （2）求（为坐标原点）面积的最大值． 02 椭圆的标准方程的综合问题 【考试题型1】焦点三角形问题 【解题方法】椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a（2a＞F1F2），则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a． （2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应