精品解析：浙江省杭州市四校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题

2023学年第一学期高二年级10月四校联考 数学学科试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的斜率与y轴上的截距分别为（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 3. 平面，互相平行的一个充分条件是（ ） A. ，都垂直于同一平面 B. 某一直线与，所成角相等 C. ，都平行于同一直线 D. ，都垂直于同一直线 4. 已知直三棱柱，，，那么异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设非零向量和的夹角为，定义运算：.已知，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 点在圆上运动，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点C在直线上运动，则内切圆半径的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则该三棱锥外接球半径是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，那么（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的高为 C. 圆台的表面积为 D. 球O的表面积为 11. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，事件“两枚硬币朝上的面不同”，则（ ） A. 事件A和B互斥 B. 事件C和D互斥 C. 事件A和B相互独立 D. 事件C和D相互独立 12. 过抛物线上一点作圆：的两条切线，切点为，，则（ ） A. 使的点共有2个 B. 既有最大值又有最小值 C. 使四边形面积最小的点有且只有一个 D. 直线过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 空间直角坐标系中，若，，且，则_____. 14. 设，若函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是______. 15. 直线l：与圆C：交A，B两点，若D为圆C上一点，且为等边三角形，则r的值为______. 16. 若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且. （1）求角C； （2）若，求边上高的最大值. 19. 已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，求实数k的取值范围． 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 21. 设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆. （1）求圆C的方程. （2）过作直线l与圆C相交于A，B两点， （i）用坐标法证明：是定值. （ii）设，求最大值. 22. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角三角形中，. （1）点E满足，试确定的值，使得直线平面，并说明理由. （2）当的长为何值时，直线与平面所成的角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高二年级10月四校联考 数学学科试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟；