专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题09 相似三角形的判定与性质（10大题型） 【题型目录】 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 题型三 重心的有关性质 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 利用相似三角形的性质求解 题型六 证明三角形的对应线段成比例 题型七 利用相似求坐标 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型九 相似三角形——动点问题 题型十 相似三角形的综合问题 【知识梳理】 知识点一、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点二、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【经典例题一 证明两三角形相似】 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（2023秋·九年级课时练习）如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ． 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么 ． 5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，是边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题二 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    4．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号) 5．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校考期末）如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【经典例题三 重心的有关性质】 1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 2．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）如图，在中，，中线相交于点F．，交于点G．，则的长为（  ） A．5 B．6 C．10 D．12 3．（2023春·上海普陀·八年级校考期末）在中，，，，那么它的重心到点的距离是 ． 半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．    5．（2023·全国·九年级专题练习）在中，已知D是边的中点，G是的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当和不平行，且点E、F分别在线段上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)如图3，当点E在的延长线上或点F在的延长线上时，（