课时跟踪检测（39）空间点、线、面位置关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十九） 空间点、线、面位置关系 1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为(　 ) A. B．1 C．2 D. 解析：选D　设正方体的棱长为1，因为当M在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1， 所以tan∠DMD1＝＝＝是最大值，此时MD1⊥A1C1.故选D. 2．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB＝25 m，BC＝AD＝10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为(　 ) A．102 m B．112 m C．117 m D．125 m 解析：选C　如图，过E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别作EG⊥BC，EM⊥AB，垂足分别为G，M，连接OG，OM. 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO和∠EGO， 所以tan∠EMO＝tan∠EGO＝. 因为EO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EO⊥BC. 因为EG⊥BC，EO，EG⊂平面EOG，EO∩EG＝E， 所以BC⊥平面EOG.因为OG⊂平面EOG，所以BC⊥OG. 同理OM⊥BM.又BM⊥BG，故四边形OMBG是矩形． 所以由BC＝10得OM＝5.所以EO＝.所以OG＝5. 所以在Rt△EOG中，EG＝＝＝. 在Rt△EBG中，BG＝OM＝5，EB＝＝＝8. 又因为EF＝AB－5－5＝25－5－5＝15， 所有棱长之和为2×25＋2×10＋15＋4×8＝117 m．故选C. 3．(2023·全国甲卷)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选C　如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC.又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM.又OM⊂平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线．所以OA＝OB.所以Rt△POA≌Rt△POB.所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理得PA＝＝.所以PB＝.在△PBC中，由余弦定理得cos∠PCB＝＝，所以sin∠PCB＝.所以S△PBC＝PC·BCsin∠PCB＝4，故选C. 4．一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别是AB，BC和C1D1的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是(　 ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：选D　如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体的性质知RF∥PQ，所以F∈平面α.又RP∥MQ，所以M∈平面α.又EF∥RP，所以E∈平面α.所以六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状．故选D. 5．(2023·新课标Ⅱ卷)(多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　 ) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 解析：选AC　在△PAB中，由余弦定理得AB＝2.如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A正确；该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，故B错误；取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C正确；PH＝OH＝，S△PAC＝×2×＝2，故D错误．故选A、C. 6．如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是线段BD上的动点，则(　 ) A．存在点G，使PG⊥EF成立 B．存在点G，使FG⊥EP成立 C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 解析：选C　取BD的中点M，连接AM，CM.易得AM⊥BD，CM⊥BD，AM，CM⊂平面ACM，AM∩CM＝M，故BD⊥平面ACM.又AC⊂平面ACM，故BD⊥AC.若PG⊥EF，PG，B