课时跟踪检测（38）平面与平面垂直的性质定理及垂直关系的相互转化（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十八） 平面与平面垂直的性质定理及垂直关系的相互转化 A级——综合提能 1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　 ) A．a⊥β B．a∥β C．a与β相交 D．以上都有可能 解析：选D　因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．故选D. 2.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　 ) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 解析：选B　因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC. 3．已知平面α，β及直线a满足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则(　 ) A．a⊂β B．a⊥β C．a∥β D．a与β相交但不垂直 解析：选B　由题意，α中存在直线b，b∥a.因为a⊥AB，所以b⊥AB.因为α⊥β，α∩β＝AB，所以b⊥β.因为b∥a，所以a⊥β. 4．已知平面α，β，γ，则下列命题正确的是(　 ) A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α 解析：选B　A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α. 5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　 ) A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α 解析：选B　已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加的条件n⊥m，才能使得n⊥β. 6.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 解析：过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°. 答案：45° 7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________． 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD.所以平面ACD⊥平面ABD，共3对． 答案：3 8.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC. 证明：∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面SCD. 又∵BC⊂平面SBC，∴平面SCD⊥平面SBC. 9.如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长． 解：连接BC.∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，∴BD⊥平面α. ∵BC⊂α，∴BD⊥BC.在Rt△BAC中， BC＝＝＝5， 在Rt△DBC中，CD＝＝＝13， ∴CD的长为13 cm. B级——应用创新 10.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　 ) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 解析：选D　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 11.(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论一定成立的是(　 ) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 解析：选ABC　因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选A、B、C. 12.如图，平面α⊥平面