课时跟踪检测（37）平面与平面垂直的判定定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十七） 平面与平面垂直的判定定理 A级——综合提能 1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　 ) A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个 解析：选D　当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D. 2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　 ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：选C　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β.又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β. 3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(　 ) A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 解析：选B　如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α-l-β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°. 4．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　 ) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析：选D　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC. 5.AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　 ) A．60° B．30° C．45° D．15° 解析：选C　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.易得BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝AC，∴∠PCA＝45°.故选C. 6.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于________． 解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°.∴所求二面角的大小为90°. 答案：90° 7．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．(用序号表示) 解析：由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α.∵l′⊂β，∴α⊥β.故①②⇒③. 答案：①②⇒③(或①③⇒②) 8.如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________． 解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β. 答案：面面垂直的判定定理 9.如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小． 解：因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以BD⊥AC. 又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD， 所以BD⊥平面 ACD. 因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD. 所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角． 在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°. 10.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点． 求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB. 证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD.又BG⊂平面ABCD， ∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG⊂平面PBG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG. 又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB. B级——应用创新 11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C　由已知BD＝2C