课时跟踪检测（36）直线与平面垂直的性质定理及线面垂直的综合问题（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十六） 直线与平面垂直的性质定理及线面 垂直的综合问题 A级——综合提能 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　 ) A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直 解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，且l⊥平面A1C1，所以l∥B1B. 2．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　 ) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 解析：选C　因为l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC.又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，所以m⊥平面ABC.由直线与平面垂直的性质定理知l∥m. 3．(多选)下列命题正确的是(　 ) A.⇒b⊥α B.⇒a∥b C.⇒b∥α D.⇒b⊥α 解析：选AB　由性质定理可得A、B正确．故选A、B. 4．已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行．记平面α，β的距离为d1，直线m，n的距离为d2，则(　 ) A．d1<d2 B．d1＝d2 C．d1>d2 D．d1与d2大小不确定 解析：选B　因为平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，且直线m与n不平行，所以平面α，β的距离等于直线m，n的距离，即d1＝d2.故选B. 5．(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是(　 ) A．若m⊥n，n⊂α，则m⊥α B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n 解析：选BC　对A，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以A不是真命题；对B，是直线与平面垂直的定义的应用，所以B是真命题；对C，是直线与平面垂直的性质定理，所以C是真命题；对D，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以D不是真命题．故选B、C. 6.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________. 解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又AF＝DE，所以AFED是平行四边形．所以EF＝AD＝6. 答案：6 7．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 解析：当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1. 答案：BD⊥AC 8．已知线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________． 解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1.四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4. 答案：4 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN∥AD1. 证明：因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，A1D，CD⊂平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 10.如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝. 证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD， ∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF. 又PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC，PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC. ∴EF∥BD.∴＝. B级——应用创新 11．已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝(　 ) A．2 B．1 C. D. 解析：选A　因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以＝.因为OA＝AB，所以＝.因为AC＝1，所以BD＝2.故选A. 12．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(　 ) A．直线BC1与DA1的夹角为90° B．直线BC1与CA1的夹角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D的夹角为45° D．直线BC1与平面ABCD的夹角为45° 解析：选ABD　如图，