课时跟踪检测（35）直线与平面垂直的判定定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十五） 直线与平面垂直的判定定理 A级——综合提能 1．正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(　 ) A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1 解析：选D　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D. 2．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　 ) A．20° B．70° C．90° D．110° 解析：选B　∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角．又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B. 3．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论： ①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心． 其中正确结论的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影为O，则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心，只有③正确． 4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　 ) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l⊂α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C. 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝BC，则直线B1C1与平面ABC1所成的角为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A　∵∠BAC＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC与平面ABC1的夹角，即BC与平面ABC1所成的角为30°.∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1与平面ABC1所成的角为30°. 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________． 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形． 答案：4 7.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________． 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2. 答案：2 8．在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可) 解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可． 答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可) 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF. 证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE， 所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中点，所以EF⊥PC. 又BP＝＝2＝BC， F是PC的中点，所以BF⊥PC. 又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF， 所以PC⊥平面BEF. 10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2. (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)求AE与平面BDE所成角的大小． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵BD⊂平面BED，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. (2)设AC∩BD＝O，连接EO.如图所示， ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE上的射影． ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角． 在Rt△EAD中，EA＝ ＝2，AO＝， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝. ∵0°≤∠AEO≤90°， ∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. B级——应用创新 11.如图所示，设平面α∩平面β＝P