课时跟踪检测（34）直线与直线垂直（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（三十四） 直线与直线垂直 A级——综合提能 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有(　 ) A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 解析：选D　在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D. 2．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(　 ) A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 解析：选D　若直尺与地面相交，则C不正确；若直尺平行于地面，则B不正确；若直尺放在地面上，则A不正确．故选D. 3．已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则(　 ) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n平行、相交、异面均有可能 解析：选D　∵m⊥l，n⊥l，∴m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行． 4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　 ) A．90° B．60° C．45° D．0° 解析：选B　将三角形折成三棱锥．如图所示，GH与IJ为异面直线．在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角为60°. 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为(　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选A　连接AD1，D1O.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形．则AD1∥BC1.所以∠D1AO是异面直线AO与BC1的夹角．不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则AD1＝2，D1O＝，AO＝＝.因为AD＝D1O2＋AO2，即D1O⊥AO，则0°<∠D1AO<90°，所以sin∠D1AO＝＝，即∠D1AO＝30°. 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条． 解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°. 答案：1 7.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°.∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5. 答案：5 8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD. 以上结论正确的为________．(填序号) 解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确． 答案：①③ 9.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小． 解：如图，取AC的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，所以GF∥AD，且GF＝AD，EG∥BC，且EG＝BC，则∠EGF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EG＝GF＝1. 单独看△GEF的平面图，可得 在等腰△GEF中，过点G作GH⊥EF于点H， 在Rt△GHE中，EG＝1，EH＝EF＝，则sin∠EGH＝， 所以∠EGH＝60°，则∠EGF＝2∠EGH＝120°. 所以异面直线AD，BC所成的角为∠EGF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60°. 10.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝. 求证：AD⊥BC. 证明：取BD的中点H，连接EH，FH. 因为E是AB的中点，且AD＝2， 所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2. 所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边． 所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°. 故AD⊥BC. B级——应用创新 11．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　 ) A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条 解析：选A　如图所示，过