课时跟踪检测（15）余弦定理、正弦定理应用举例（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（十五） 余弦定理、正弦定理应用举例 A级——综合提能 1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　 ) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析：选B　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B. 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　 ) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：选D　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10(km)． 3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　 ) A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h 解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34.∴v＝＝(n mile/h)．故选A. 4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　 ) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m 解析：选C　如图，设O为建筑物的顶端A在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60.∴AB＝OA－OB＝40.故选C. 5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)． 答案： 6．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________ h. 解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)． 答案：1 7.如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m，AC＝7 m．若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处______ m的点． 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝(15x＋82)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－(舍去)．故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点． 答案：5 8.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°. (1)求A，C两地的距离． (2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 解：(1)由题意，设AC＝x m， 则BC＝x－×340＝(x－40)m. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 所以A，C两地间的距离为420 m. (2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°， 所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 9．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解：如图所示，考点为A，检查开始处为B， 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距