课时跟踪检测（12）向量在平面几何、物理中的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（十二） 向量在平面几何、物理中的应用 A级——综合提能 1．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　 ) A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析：选BD　根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短． 2．已知人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　 ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. 解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B. 3．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是(　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C　因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形． 4．在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　 ) A. B．2 C．5 D．10 解析：选D　∵·＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10. 5．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　 ) A．40 N B．10 N C．20 N D．40 N 解析：选B　如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力． 由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10 N．故选B. 6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________． 解析：设所用时间长短为t，则＝tv，即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3. 答案：3 7．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________． 解析：∵合速度|v合|＝＝16(km/h)＝(m/min)，∴t＝400÷＝1.5(min)． 答案：1.5 min 8．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________. 解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥.所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)． 答案：1 9．求证：直径所对的圆周角为直角． 证明：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a，＝a－b，|a|＝|b|. 因为·＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，所以⊥，所以∠ABC＝90°.所以直径所对的圆周角为直角． 10.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC. 证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0. ∵＝＋＝d－c， ∴·＝e·(d－c)＝0， ∴⊥，即AD⊥BC. B级——应用创新 11．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　 ) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 解析：选D　W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D. 12．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是(　 ) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断减小 C．船的浮力不断减小 D．船的浮力保持不变 解析：选AC　设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θ， 则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小． 13．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________心． 解析：∵·＝·，∴(－)·＝0.∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直