课时跟踪检测（7）平面向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（七） 平面向量基本定理 A级——综合提能 1．平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法正确的是(　 ) A．向量a，b的方向相同 B．向量a，b中至少有一个是零向量 C．向量a，b的方向相反 D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0 解析：选D　因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A、C不正确．因为a，b是一个基底，所以不能为零向量，故B不正确．因为a，b不共线，且不能为零向量，所以若λa＋μb＝0，当且仅当λ＝μ＝0，故D正确．故选D. 2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　 ) A．a＝0，b＝e1－e2 B．a＝3e1－3e2，b＝e1－e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 解析：选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基底．对于B，因为a＝3e1－3e2，b＝e1－e2，所以a＝3b.所以这两个向量不可以作为基底．对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底．对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b.所以这两个向量不可以作为基底．故选C. 3．设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　 ) A. B．－ C．－3 D．3 解析：选B　因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B. 4.如图所示，点C在线段BD上，且BC＝3CD，则＝(　 ) A．3－2 B．4－3 C.－ D.－ 解析：选C　因为BC＝3CD，所以＝.因为＝＋＝＋＝＋(－)，所以＝－.即＝－.故选C. 5.如图，平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，若＝x＋y，则x＋y＝(　 ) A．1 B. C. D．2 解析：选B　因为平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，所以＝＝2.所以＝＝(＋)．又＝x＋y，所以x＝y＝，x＋y＝.故选B. 6．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________. 解析：∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0. 答案：0 7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)． 解析：∵＝3，∴4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b.∴＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 8．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝________. 解析：如图，＝3e2，＝e1，所以a＝＋＝e1＋3e2.又a＝λe1＋μe2，所以λ＝1，μ＝3.即λ＋μ＝4. 答案：4 9．设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来． 解：如图所示，＝－＝－－＝－－(－)＝－＝b－a.同理可得＝a－b，＝a＋b. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∵e1与e2不共线，∴解得∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴解得 B级——应用创新 11．(多选)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，给出以下结论，其中正确的结论是(　 ) A．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2 B．若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2 C．存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 D．不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线 解析：选AD　若a与b共线，则可得λa＝b(λ∈R)，即2λe1－λe2＝ke1＋e2，由e1与e2不共线得2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，所以A正确，B错误．若e1与e2共线，则可得e1＝me2(m∈R)，则a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1