课时跟踪检测（5）平面向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（五） 平面向量的数量积 A级——综合提能 1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　 ) A．－3 B．－6 C．6 D．2 解析：选B　因为|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，所以a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6.故选B. 2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝∠ABC＝60°，则下列各组向量夹角为60°的是(　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选B　由题意可得与的夹角为180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，A错误；如图，作DE∥CB，交AB于点E，则∠ADE＝60°，故与的夹角，＝∠ADE＝60°，B正确；由于∥，故与的夹角等于与的夹角，即为180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，C错误；与的夹角为∠ADC＝180°－60°＝120°，D错误．故选B. 3．“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|；若a·b＝|a||b|，则cosa，b＝1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行．综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的必要不充分条件．故选B. 4.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　 ) A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J 解析：选B　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50(J)，故选B. 5．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为(　 ) A．5 B．－5 C．－5 D．5 解析：选D　由题意得，所求投影向量为|a|cos 150°·，所以所求投影向量的模为|a||cos 150°|·＝10×＝5.故选D. 6．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为________． 解析：如图，与的夹角为∠ABC＝120°. 答案：120° 7．已知||＝3，||＝4，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是______． 解析：由条件可知＝2，设在的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝. 答案： 8．已知|a|＝6，向量e为单位向量，a，e＝，则向量a在向量e方向上的投影向量为________． 解析：因为|a|＝6，向量e为单位向量，〈a，e〉＝，所以向量a在向量e方向上的投影向量为·＝(a·e)e＝|a||e|cos·e＝6×·e＝3e. 答案：3e 9．已知|a|＝5，|b|＝4， (1)若a与b的夹角为θ＝120°. ①求a·b；②求a在b上的投影向量； (2)若a∥b，求a·b. 解：(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②a在b上的投影向量为|a|·cos θ＝5××＝－b. (2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或θ＝180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. 10．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8. (1)判断△ABC的形状； (2)求·. 解：(1)·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，又0°≤∠BAC≤180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． (2)由(1)得与的夹角为120°,所以·＝||||cos 120°＝4×4×＝－8. B级——应用创新 11．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为(　 ) A．(0,3) B．(0,3] C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：选C　∵a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝3>0，∴cos〈a，e〉∈(0,1]．∴|a|＝＝≥3.故|a|的取值范围为[3，＋∞)．故选C. 12．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF边上一动点，则·的(　 ) A．最大值是4＋2，最小值是4－2 B．最大值是6，最小值是－2 C．最大值是6，最小值是－2 D．最大值是4＋2，最小值是－2 解析：选C　的模为2，根据正六边形的特征，当P和C重合时，投影最大，作CM⊥AB的延长线于点M，可以得到在方向上的投影最大值AM长是3，同理当P和F重合时，可以得到在方向上的投影最小值是－1，结合向量数量积的定义式，可知·等于的模