第07讲 探索勾股定理（第1课时）（8类题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第07讲 探索勾股定理（第1课时）（8类题型） 课程标准 学习目标 1.勾股定理的证明方法； 2.勾股定理的逆定理； 3.用勾股定理构造三角形证明； 1.掌握勾股定理的证明方法； 2.掌握勾股数的概念； 3、学会用勾股定理构造图形解决问题； 4、勾股定理逆定理； 知识点01：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【即学即练1】 1．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若的两边长为和，则第三边长为（    ） A． B． C． D．或 【即学即练2】 2．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．20 知识点02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【即学即练3】 3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若，则为直角三角形 B．若，则 C．若为直角三角形，则 D．若，则是直角三角形 题型01 勾股定理的证明方法 1．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 3．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    4．（2023春·天津东丽·八年级统考期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    5．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形．    (1)请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现． (2)若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积． 题型02 以弦图为背景的计